Τρίτη, 30 Απριλίου 2013

Στο θερινό κάμπινγκ


Σ’ ένα θερινό κάμπινγκ στο κόλπο  Κισσάμου , ένας τουρίστας προσπαθεί να αντλήσει κρύο νερό από το πηγάδι.
Το βαρούλκο του πηγαδιού,  αποτελείται από ένα συμπαγή κύλινδρο μάζας Μ που μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα ,  με τη βοήθεια μιας χειρολαβής,  αμελητέας μάζας σε σχέση με τη μάζα του κυλίνδρου.
Τη στιγμή όμως που ο κουβάς γεμάτος νερό,  φτάνει και σταματά στο χείλος του πηγαδιού, γλιστρά η χειρολαβή από το χέρι του τουρίστα και ο κουβάς αρχίζει να ξαναπέφτει μέσα στο πηγάδι.
Η μάζα του κουβά μαζί με το νερό είναι m , το σχοινί που είναι δεμένος θεωρείται  αβαρές σταθερού μήκους χωρίς να γλιστρά πάνω στον κύλινδρο, και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου είναι Icm = 0,5MR² όπου R  η ακτίνα  του. Τριβές κατά τις κινήσεις αμελητέες.
Για να φτάσει ο κουβάς από το χείλος του πηγαδιού στην επιφάνεια του νερού στον ελάχιστο χρόνο,  πρέπει
α. (M/m) = 1 , β. ( Μ/m) → 0,  γ.  ( M/m)  = 2
Να επιλέξετε τη σωστή σχέση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.



Μέγιστη στροφορμή και ρυθμός μεταβολής της.


Μια ομογενής ράβδος μάζας Μ και μήκους ℓ, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το μέσον της Ο, διαγράφοντας κατακόρυφο επίπεδο. Στο ένα της άκρο έχει προσδεθεί μια σημειακή μάζα Μ, οπότε έτσι έχουμε δημιουργήσει ένα στερεό S. Φέρνουμε το στερεό S, στη θέση που φαίνεται στο σχήμα και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί.
i) Ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του στερεού, ως προς τον άξονα περιστροφής του στο Ο, έχει μέτρο:
α) 1/3 Μgℓ             β) ½ Μgℓ       γ) 1/3 Μgℓ2    δ) 1/3 Μgℓ2∙ω
ii) Αν η σημειακή μάζα αποκτήσει μέγιστη ταχύτητα μέτρου υ, τότε η μέγιστη στροφορμή του στερεού, ως προς τον άξονα περιστροφής του στο Ο, έχει μέτρο:
α)  1/3 Μℓυ   β) 2/3 Μℓυ    γ) 1/3 Μℓ2υ    δ) 2/3 Μℓ2υ.
Να δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας ομογενούς ράβδου ως προς κάθετο σε αυτήν άξονα που περνά από το μέσον της Ι= Μℓ2/12


Το τραινάκι...


Ένα λεπτό δαχτυλίδι  μάζας Μ και ακτίνας   R μία σφαίρα μάζας Μ και ακτίνας R και ένας κύλινδρος  μάζας Μ και ακτίνας R συνδέονται μέσω αβαρών ράβδων  μεταξύ τους σχηματίζοντας «τραινάκι» με το δαχτυλίδι να παίζει το ρόλο του «μηχανοδηγού» και την σφαίρα με τον κύλινδρο να ακολουθούν διαδοχικά το δαχτυλίδι. Το σύστημα αφήνεται ελεύθερο από κάποιο ύψος ενός αρκετά μεγάλου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ  και το σύστημα αρχίζει  να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει .
Να βρεθεί η επιτάχυνση του συστήματος.
Δίνονται οι ροπές αδράνειας του κάθε στερεού Ι=λΜR2  με λ=1 για το δαχτυλίδι λ=0,4 για την σφαίρα και λ=0,5 για τον κύλινδρο ενώ για το κεκλιμένο επίπεδο ημφ=0,49.

Συνδυασμός γραμμικού και στροφικού ταλαντωτή Νο 2



Θεωρούμε την διάταξη του σχήματος αποτελούμενη από ένα κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100Ν/m, μια τροχαλία μάζας m=0,5Kg και ακτίνας R=0,2m και δύο σώματα Σ1 και Σ2 μαζών m1=0,75Kg και m2=0,5Kg αντιστοίχως. H τροχαλία μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο στο επίπεδό της, που περνά από το κέντρο της. Αρχικά τα όλα τα σώματα του συστήματος είναι σε ηρεμία.
Την χρονική στιγμή to=0 κόβουμε το νήμα που συνδέει τα δύο σώματα, με αποτέλεσμα το σώμα Σ1 να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
Δίνεται ότι τα νήμα είναι συνεχώς τεντωμένο και δεν γλιστρά στην τροχαλία.
Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της δίνεται από την σχέση I=1/2 mR2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10m/s2.


Να υπολογίσετε:

Ζ1. Την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το Σ1.
Ζ2. Την εξίσωση της απομάκρυνσης του Σ1 από την θέση ισορροπίας του συναρτήσει του χρόνου, θεωρώντας ότι ο θετικός ημιάξονας έχει την ίδια φορά με την επιτάχυνση της βαρύτητας.
Ζ3. Τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της τροχαλίας την στιγμή που κόβουμε το νήμα.
Ζ4. Τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος Σ1 την στιγμή που περνά από την θέση ισορροπίας του.
Ζ5. Την χρονική στιγμή που η επιμήκυνση του ελατηρίου γίνεται ίση με τα 4/5 της μέγιστης τιμής της για πρώτη φορά.
Απάντηση 

Σάββατο, 27 Απριλίου 2013

Για τα φωτορυθμικά εφέ της πισίνας


Για τα φωτορυθμικά εφέ  σ’ ένα  πισίνα – πάρτυ , οι διοργανωτές τοποθέτησαν στην επιφάνεια του  νερού  μιας μεγάλης  πισίνας  βάθους 2r μια  κυκλική αδιαφανή λεπτή μεμβράνη ακτίνας r.
Ακριβώς κάτω από τη μεμβράνη,  στην κατακόρυφο που διέρχεται από το κέντρο της Κ , τοποθέτησαν δυο προβολείς ακτίνων laser.
Τον Π1 στον πάτο της πισίνας και τον Π2  σε ύψος  3r/2  πάνω από τον Π1 .
Οι προβολείς εκπέμπουν εναλλάξ ακτίνες laser   προς κάθε κατεύθυνση,  για τις  οποίες ο δείκτης διάθλασης του νερού  είναι n = 2 1/2.  
Όμως από λάθος των τεχνικών,   οι ακτίνες μόνο του ενός προβολέα βγαίνουν έξω από το νερό.
Ένας τεχνικός,  αποφασίζει να μετακινήσει τον προβολέα που βρίσκεται σε λάθος θέση.
Ποιον προβολέα θα μετακινήσει και σε πόσο ελάχιστο βάθος θα τον τοποθετήσει για να βγαίνουν οι ακτίνες του έξω από το νερό;    
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 
Φαινόμενα που οφείλονται σε ανάκλαση ή σε διάχυση να μην ληφθούν υπόψη.  
Ο δείκτης διάθλασης του αέρα είναι nα = 1.   

Πέμπτη, 25 Απριλίου 2013

Ένα δεύτερο θέμα με δυο ταλαντώσεις.

Ένα σώμα ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, όπως στο σχήμα, θέση (1). Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω του μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη F, μέχρι τη θέση (2) που μηδενίζεται η ταχύτητα του σώματος, όπου και η δύναμη παύει να ασκείται.
i) Αν η διάρκεια της κίνησης προς τα κάτω, από την θέση (1) μέχρι τη θέση (2), με την επίδραση της δύναμης F είναι t1, ενώ η διάρκεια της επιστροφής, μέχρι την αρχική του θέση (1) είναι t2, τότε για το λόγο t1/t2 ισχύει:
α) t1/t2= ½              β) t1/t2 = 1            γ) t1/t2=2         δ) t1/t2= 1/3
ii) Αν υ1 η τιμή της μέγιστης ταχύτητας του σώματος κατά την κάθοδο και υ2 η μέγιστη ταχύτητα κατά την κάθοδο, τότε ισχύει:
α) υ12= - ½      β) υ12=1        γ) υ12=2 
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Τετάρτη, 24 Απριλίου 2013

200. Δύο διαπασών σε μια τροχαλία και ...

Ομογενής τροχαλία έχει μάζα Μ=8kg   και ακτίνα R= 0,5m μπορεί να ισορροπεί με την βοήθεια κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=560N/m που είναι δεμένο στο κέντρο της τροχαλίας με το ένα άκρο του και το άλλο άκρο του είναι  ακλόνητα συνδεδεμένο  σε οροφή όπως στο παρακάτω σχήμα.
Δύο σημειακά διαπασών  με μάζες m1=4kg και m2=2kg είναι δεμένα από αβαρές και μη εκτατό νήμα που είναι περασμένο από το αυλάκι της τροχαλίας και εκπέμπουν ήχους ίδιας συχνότητας  fs=1360Hz. Την στιγμή t=0 που το m1 και το m2 βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και απέχει από το έδαφος ύψος Η=3,8m το σύστημα αφήνεται ελεύθερο και τα δυο σώματα κινούνται ενώ το κέντρο μάζας της  τροχαλίας  παραμένει στη θέση του. Την στιγμή t=1sec κόβουμε ταυτόχρονα τα δύο νήματα με αποτέλεσμα τα δύο διαπασών να φτάσουν μετά από λίγο στο έδαφος και να καρφωθούν σε αυτό χωρίς να καταστραφούν.
Να βρεθούν:
A) Hμέγιστη κινητική ενέργεια της τροχαλίας μετά το κόψιμο των νημάτων
Β) Τη μέγιστη και την ελάχιστη συχνότητα που θα μπορούσαν  να ακούσουν δύο ακίνητοι παρατηρητές  που θα βρισκόταν στο εδάφος και  στην ίδια ευθεία με τα διαπασών σε όλη την διάρκεια της κίνησης των διαπασών.
Γ) Ο αριθμός των μεγίστων και των ελαχίστων έντασης ήχου που θα σχηματιστούν στο ευθύγραμμο τμήμα  που ενώνει τα δύο διαπασών όταν αυτά βρεθούν στο έδαφος.
Δίνεται για την τροχαλία Ιcm=0,5MR2 και για τον ήχο uηχ=340m/s.


Κυκλική στεφάνη και σφαίρα


Κυκλική κατακόρυφη στεφάνη φέρει στο εσωτερικό της οδηγό μέσα στον οποίο μπορεί να κινηθεί μικρή συμπαγής σφαίρα μάζας mκαι ακτίνας R2 και ροπής αδράνειας  Ι2=0,4m2R22  και να κυλάει χωρίς ολίσθηση. Το δάπεδο που βρίσκεται η στεφάνη είναι λείο. Η ροπή αδράνειας του στεφανιού ως προς το κέντρο μάζας της είναι I1=m1R12.
Αφήνουμε τη σφαίρα να κυλήσει στο εσωτερικό της στεφάνης από την οριζόντια θέση που διέρχεται από το κέντρο της στεφάνης.
Δίνονται: m­1=1kg,,m2=0,5kg, R1=0,4m,R2=0,04m, g=10m/s2.
Ζητείται να υπολογισθούν:
1. η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας στο κατώτερο σημείο της τροχιάς της και η γωνιακή ταχύτητά της.
2. Το ύψος στο οποίο θα ανέλθει η σφαίρα . Να περιγραφεί η κίνηση του συστήματος.
3. Να υπολογισθεί η κατακόρυφη δύναμη που ασκεί η σφαίρα στη στεφάνη στο κατώτερο σημείο.
4. Πόση η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας στην κατώτερη θέση της τροχιάς της αν δεν υπήρχαν τριβές.





Τρίτη, 23 Απριλίου 2013

Μια μεταβλητή δύναμη σε ράβδο.

Ράβδος ΑΓ μάζας Μ=1Kg και μήκους L=0,6m  μπορεί να περιστρέφεται γύρω από το ένα της άκρο Α  γύρω από οριζόντιο άξονα χωρίς τριβές. Την στιγμή t=0  και ενώ η ράβδος ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση  αποκτά αρχική γωνιακή ταχύτητα ω0=10r/s και ταυτόχρονα εφαρμόζεται πάνω της μεταβλητή δύναμη F  συνεχώς κάθετη στη ράβδο στο άκρο της Γ και με εξίσωση F=5ημφ (S.I.) όπου φ η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με την αρχική κατακόρυφη θέση της ράβδου όπως στο παρακάτω σχήμα
Η δύναμη F καταργείται μόλις μηδενιστεί το μέτρο της για πρώτη φορά μετά την εφαρμογής της.
Να βρεθούν:
Α)  Ο χρόνος που ασκήθηκε η δύναμη F
Β) H γραφική παράσταση  του μέτρου της ροπής της δύναμης F σε συνάρτηση της γωνίας και μέχρι το μηδενισμό αυτής. Τι εκφράζει το περικλειόμενο  εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης και του άξονα των γωνιών; Mπορεί να υπολογιστεί το εμβαδόν; Αν ναι πόσο είναι αυτό το εμβαδόν;
Γ)  Η μέγιστη ισχύς της δύναμης
Δ) Η μέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου
Για την ράβδο Ιcm=1/12ML2.

Προσπαθώντας να υπερπηδήσει το εμπόδιο…

Γύρω από έναν κύλινδρο τυλίγουμε ένα νήμα στο άκρο του οποίου ασκούμε οριζόντια δύναμη F1, με στόχο να υπερπηδήσει ο κύλινδρος ένα πακτωμένο εμπόδιο, ύψους h=R, όπως στο σχήμα. Το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο και ο κύλινδρος ισορροπεί.
i) Σχεδιάστε τη δύναμη που ασκείται στον κύλινδρο στο σημείο επαφής του με το εμπόδιο Κ, δικαιολογώντας την κατεύθυνσή της.
ii) Η κάθετη αντίδραση του επιπέδου είναι:
α)  Μεγαλύτερη από το βάρος του κυλίνδρου.
β)  Ίση με το βάρος του κυλίνδρου.
γ)  Μικρότερη από το βάρος.    
iii) Αυξάνουμε σιγά-σιγά το μέτρο της δύναμης F1. Τη στιγμή που ο κύλινδρος είναι έτοιμος να υπερπηδήσει το εμπόδιο, το μέτρο της δύναμης F1 είναι:
α) Ίσο με το βάρος του κυλίνδρου.
β) Μεγαλύτερο από το βάρος.
γ) Μικρότερο από το βάρος.
iv) Αν δεν αναπτύσσεται τριβή μεταξύ εμποδίου και κυλίνδρου, να εξετάσετε αν μπορεί και με ποιες προϋποθέσεις, ο κύλινδρος να υπερπηδήσει το εμπόδιο.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Μια ατμομηχανή



Στο πιο πάνω σχήμα φαίνεται απλοποιημένο το σύστημα μετάδοσης της κίνησης στον καθένα από τους δύο κινητήριους τροχούς μιας μικρής ατμομηχανής.
Κατά τη λειτουργία της ατμομηχανής ο υπέρθερμος ατμός εισέρχεται υπό μεγάλη πίεση εναλλάξ στους χώρους εκατέρωθεν του εμβόλου (Ε) και ασκεί σ’ αυτό δύναμη που το αναγκάζει να κινείται παλινδρομικά συμπαρασύροντας την οριζόντια ράβδο που είναι σταθερά συνδεδεμένη μ’ αυτό.
Στο άλλο άκρο Δ της ράβδου υπάρχει διωστήρας ΑΔ, που συνδέεται μέσω των αρθρώσεων Δ και Α με τον τροχό (Ρ). Το σημείο Α είναι σταθερό σημείο του τροχού και απέχει απόσταση (ΚΑ) από το κέντρο, ίση με το μισό της ακτίνας του.
Με τη βοήθεια των αρθρώσεων Δ και Α η παλινδρομική κίνηση του εμβόλου (Ε) μετατρέπεται σε περιστροφή για τον τροχό (Ρ).
Η ατμομηχανή έχει συνολική μάζα Μ = 9000 kg, κινείται σε ανηφορικό δρόμο με κλίση 10% (δηλαδή όταν θα έχει διανύσει διάστημα 100m ανηφόρας το υψόμετρο θα έχει αυξηθεί κατά 10m) και οι τροχοί της κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν.
Το έμβολο (Ε) κάνει τότε κατά προσέγγιση γραμμική αρμονική ταλάντωση με εξίσωση x = 0,25ημ(20t) (S.I.)
Αν ο θερμαστής φτυαρίζει 100 kg λιγνίτη την ώρα μέσα στον καυστήρα του λέβητα που χρησιμοποιείται για την παραγωγή ατμού και από το παραγόμενο μηχανικό έργο το 10% είναι θερμικές απώλειες λόγω τριβών στα κινούμενα μέρη του συστήματος μετάδοσης της κίνησης, να υπολογίσετε τη θερμική απόδοση της ατμομηχανής.
Να θεωρήσετε την αντίσταση του αέρα και κάθε είδους αντιστάσεις κατά την κίνηση του οχήματος αμελητέες.
Δίνονται:  θερμαντική ικανότης του λιγνίτη 18 ΜJ/kg  ,  g = 10m/s².

Δευτέρα, 22 Απριλίου 2013

Θα μετακινήσουμε και την βάση της τροχαλίας;

Δίνεται μια τροχαλία, μάζας m=2kg, η οποία στηρίζεται σε βάση μάζας Μ=2kg και η οποία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από τον οριζόντιο άξονά της χωρίς τριβές. Γύρω από την τροχαλία, έχουμε τυλίξει αρκετές φορές ένα αβαρές νήμα, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σώμα Σ μάζας 1kg, με το νήμα τεντωμένο. Τα σώματα ηρεμούν σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζουν συντελεστές τριβής μ=μs=0,2. Σε μια στιγμή t=0, ασκούμε στο σώμα Σ μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, όπως στο σχήμα.
i) Να υπολογιστεί το έργο της  δύναμης F σε χρονικό διάστημα t1=4s στις παρακάτω περιπτώσεις:
α) Αν F=1Ν
β) Αν F=6Ν
Να βρεθεί σε κάθε περίπτωση η κινητική ενέργεια που αποκτά η τροχαλία.
ii) Ποια η μέγιστη τιμή της δύναμης που μπορούμε να ασκήσουμε στο σώμα Σ, χωρίς να μετακινηθεί η βάση της τροχαλίας;
iii) Ασκώντας μια μεγαλύτερη δύναμη, μετακινείται και η βάση της τροχαλίας, αποκτώντας σταθερή επιτάχυνση α2=1m/s2.
α) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει η τροχαλία σε χρονικό διάστημα 2s, στην περίπτωση αυτή.  
β) Πόση η αντίστοιχη κινητική ενέργεια του σώματος Σ;
Δίνεται η ροπή αδράνεια της τροχαλίας ως προς τον άξονά της Ι= ½ mR2 και g=10m/s2.
ή

Μια κρούση δακτυλιδιού.

Δαχτυλίδι μάζας Μ=2kg και ακτίνας R=1m  μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές  γύρω από οριζόντιο άξονα που περνάει από άκρο Ο της περιφέρειας  του λεπτού δαχτυλιδιού. Εκτρέπουμε το δαχτυλίδι κατά γωνία θ=90ο από την θέση ισορροπίας του και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. Την στιγμή που το δαχτυλίδι έχει αποκτήσει την μέγιστη κινητική ενέργεια  του συγκρούεται στιγμιαία και πλαστικά με αυτό ένα δεύτερο σημειακό σώμα  μάζας m=1 kg που έχει αφεθεί ελεύθερο από το άξονα O όπως στο παρακάτω σχήμα
Να βρεθούν:
A) H μέγιστη γωνιακή ταχύτητα του δαχτυλιδιού πριν την πλαστική κρούση
Β) Την απώλεια της ενέργειας  του συστήματος δαχτυλίδι-σημειακό σώμα εξαιτίας της κρούσης
Γ) Το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σημειακού σώματος εξαιτίας της κρούσης
Δ) Την μέγιστη γωνία που θα διαγράψει το σημειακό σώμα μετά την κρούση
AΠΑΝΤΗΣΗ                                             


Κυριακή, 21 Απριλίου 2013

Ένα εργαστήριο βαλλιστικών ερευνών.

29ο Θέμα 4ο
Ένα εργαστήριο βαλλιστικών ερευνών διαθέτει ελαστικές και μεταλλικές βολίδες (β) μάζας m, καθώς και στόχους (Σ) μάζας M=9m και μήκους d. Οι στόχοι μπορούν να κινούνται χωρίς τριβές πάνω σε οριζόντιο τραπέζι. Οι μεταλλικές βολίδες σφηνώνονται στους στόχους και για κάθε 1cm εισχώρησης υπολογίζεται μείωση μηχανικής ενέργειας του συστήματος κατά 100J. Οι ελαστικές βολίδες (β) συγκρούονται με αμελητέα απώλεια μηχανικής ενέργειας συστήματος.
Θέτουμε στόχους (Σ) σε μεταφορική κίνηση με κινητική ενέργεια ΚΣ=100J.
Α. Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια που πρέπει να έχει μια ελαστική βολίδα (Σ), κινούμενη οριζόντια όπως στο σχήμα Α, ώστε να ακινητοποιήσει το στόχο.
Β. Να υπολογίσετε την αντίστοιχη κινητική ενέργεια για μια μεταλλική βολίδα (β). Η κρούση είναι πλαστική.
Γ. Αν μια μεταλλική βολίδα (β) εκτοξευτεί με κινητική ενέργεια Κβ=1600J δημιουργείται συσσωμάτωμα μόλις αυτή φτάσει στην απέναντι έδρα του στόχου (Σ),  όπως στο σχήμα Γ. Να υπολογίσετε το μήκος του στόχου (Σ).
Οι βολίδες (β) είναι πολύ μικρές και κινούνται οριζόντια στο ύψος του κέντρου μάζας των στόχων (Σ). Οι κρούσεις είναι μετωπικές.

Μια ελαστική κρούση και η στροφορμή.

Μια μικρή σφαίρα μάζας m=0,1kg ηρεμεί δεμένη στο κάτω άκρο νήματος μήκους ℓ=3m, το άλλο άκρο του οποίου έχει δεθεί σε σταθερό σημείο Ο,  ενώ εφάπτεται σε ένα σώμα , το οποίο ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Εκτρέπουμε τη σφαίρα φέρνοντάς την στο σημείο Α, σε ύψος h=1,25m και την αφήνουμε να κινηθεί.  Μετά την μετωπική και ελαστική κρούση της σφαίρας με το σώμα Σ, η σφαίρα επιστρέφει φτάνοντας σε ύψος h1=0,45m, ενώ το σώμα Σ διανύει απόσταση x=2m, μέχρι να σταματήσει. Να υπολογιστούν:
i)   Η μάζα M του σώματος Σ.
ii)  Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας που οφείλεται στην κρούση.
iii) Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του σώματος Σ και του επιπέδου.
iv) Τη στιγμή που η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος h2=0,25m κατά την άνοδό της, να βρεθούν:
α) Η  στροφορμή της σφαίρας (μέτρο και κατεύθυνση) ως προς το σημείο Ο, καθώς και ο ρυθμός μεταβολής της αντίστοιχης στροφορμής.
β) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας.
Δίνεται g=10m/s2.
ή


Σάββατο, 20 Απριλίου 2013

Αρχές διατήρησης στροφορμής , ορμής , ενέργειας και μια απλή αρμονική ταλάντωση



Ένας δίσκος μάζας M = 2 kg και ακτίνας  R =0,1m  μπορεί να στρέφεται ως προς κατακόρυφο σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του.
Μια κατακόρυφη επιφάνεια που έχει σχήμα ημικυκλίου ακτίνας r = R/2 είναι στερεωμένη πάνω στον δίσκο όπως φαίνεται στο σχήμα,  όπου Κ το κέντρο του δίσκου.
Αρχικά το σύστημα ηρεμεί.
Μια μικρή σφαίρα  αμελητέων διαστάσεων σε σχέση με την ακτίνα του δίσκου , μάζας  m =M/2  κινείται χωρίς να περιστρέφεται στη διεύθυνση μιας διαμέτρου  του δίσκου,  με ταχύτητα μέτρου  υ =8·21/2  m/s  ,  και  φτάνοντας στο  σημείο Κ , μπαίνει εφαπτόμενα στον κυκλικό οδηγό που  ορίζει η κατακόρυφη ημικυκλική επιφάνεια.
Α. Να υπολογίσετε τις τιμές που έχουν τα παρακάτω μεγέθη τη χρονική στιγμή που βγαίνει η σφαίρα από τον κυκλικό οδηγό και εγκαταλείπει το δίσκο κατά τη διεύθυνση της κοινής εφαπτομένης στο απέναντι από το Κ σημείο της περιφέρειάς του:
Α1. το μέτρο  V της  ταχύτητας  της σφαίρας
Α2. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου.
Β. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της στροφορμής της σφαίρας από τη στιγμή που μπαίνει στον κυκλικό οδηγό μέχρι τη στιγμή που βγαίνει.
Γ. Η σφαίρα μετά που θα βγει από τον κυκλικό οδηγό,  συνεχίζει να κινείται πάνω σε  οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται τη χρονική στιγμή  t = 0 ,  μετωπικά πλαστικά,  με σώμα Σ μάζας m1 που κινείται  με αντίθετη ταχύτητα ,  δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο.
Αν το συσσωμάτωμα που προκύπτει , εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πάνω στο οριζόντιο επίπεδο με απομάκρυνση της μορφής  x=0,8·31/2·ημ(5·21/2·t+π/2)  SI , να υπολογίσετε:
Γ1. Τη σταθερά k του ελατηρίου.
Γ2. Το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελούσε το σώμα  Σ πριν την κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου Ιcm = ½MR² ,  η μάζα του κυκλικού οδηγού αμελητέα σε σχέση με τη μάζα του δίσκου, η κρούση γίνεται ακαριαία και ότι κατά της κινήσεις των σωμάτων δεν υπάρχουν τριβές.