Παρασκευή, 30 Σεπτεμβρίου 2016

Μια περίεργη ισότητα σε κατακόρυφη ταλάντωση!

Σώμα μάζας m = 1 kg ισορροπεί δεμένο στο έλευθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο δάπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t = 0 στο σώμα ασκείται σταθερή κατακόρυφη δύναμη F προς τα πάνω και η οποία δεν καταργείται.
α. Να δείξετε ότι το σώμα με την επίδραση της δύναμης F εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε τη συχνότητα της ταλάντωσης.
Κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του σώματος διαπιστώνεται ότι κάθε χρονική στιγμή η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.
β. Πόσο είναι το μέτρο της δύναμης F;
γ. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος θεωρώντας ως θετική φορά κατακόρυφα προς τα κάτω.
δ. Ποια χρονική στιγμή το σώμα διέρχεται για 2η φορά από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου; Δίνεται g = 10 m/s2 .

Η εκφώνηση και η λύση ΕΔΩ

Παρασκευή, 23 Σεπτεμβρίου 2016

Μια ταχύτητα και η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης.

Ένα σώμα μάζας 1kg εκτελεί ΑΑΤ και σε μια στιγμή (t0=0) περνάει από μια θέση Β, κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση, με ταχύτητα μέτρου υ1=0,4m/s. Μετά από λίγο αποκτά την μέγιστη ταχύτητά του 0,5m/s, ενώ στη συνέχεια επιβραδύνεται και μηδενίζεται στιγμιαία η ταχύτητά του στη θέση Γ, αφού διανύσει απόσταση (ΒΓ)=0,8m.
i) Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης και η απομάκρυνσή του στη θέση Β.
ii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος στις θέσεις Β και Γ.
iii) Να βρεθεί η θέση του σώματος, τη στιγμή t΄=5π/2 s.
iv) Να κάνετε το διάγραμμα της (συνισταμένης) δύναμης που ασκείται στο σώμα, από το Β στο Γ, σε συνάρτηση με την μετατόπιση από την αρχική θέση Β. Στη  συνέχεια να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα της μετατόπισης. Τι μετράει το παραπάνω εμβαδόν;

ή



Παρασκευή, 9 Σεπτεμβρίου 2016

Όταν το έργο της δύναμης F δεν είναι η ενέργεια ταλάντωσης!

Σώμα μάζας m ισορροπεί δεμένο στο έλευθερο άκρο ελατηρίου μ
ήκους Lo = 35 cm σταθεράς k = 100 Ν/m το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ = 30ο και μήκους S = 1 m, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Φέρνουμε το σώμα στη θέση όπου το ελατήριο δεν έχει δυναμική ενέργεια και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί, οπότε εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Όταν το σώμα περνά για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του έχει ταχύτητα υ1 = 0,5 m/s. Τότε στο σώμα ασκείται ακαριαία μια σταθερή δύναμη F = 2,5 N, παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο και αντίρροπη της δύναμης του ελατηρίου. Η δύναμη F καταργείται σε θέση, όπου το ελατήριο είναι επιμηκυμένο για πρώτη φορά σε σχέση με το φυσικό του μήκος κατά 0,1 m, οπότε το σώμα εκτελεί μια νέα απλή αρμονική ταλάντωση.

α. Πόση είναι η μάζα m του σώματος;
β. Πόση είναι η ενέργεια της ταλάντωσης μετά την κατάργηση της δύναμης F.
γ. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της ταχύτητας του σώματος θεωρώντας ως t = 0 τη στιγμή της κατάργησης της δύναμης F και θετική φορά ομόρροπη της δύναμης F.
δ. Πόσο απέχει το σώμα από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου τη χρονική στιγμή t1 = 0,05π s;

Δίνεται g = 10 m/s2 .

Η εκφώνηση και η λύση της άσκησης ΕΔΩ

Τρίτη, 6 Σεπτεμβρίου 2016

Η πρώτη και η δεύτερη κρούση.

Δυο σφαίρες Α και Β με ίσες ακτίνες και μάζες m1=1kg και m2=4kg, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο απέχοντας ορισμένη απόσταση d. Η σφαίρα Α εφάπτεται στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=40Ν/m, χωρίς να είναι δεμένη σε αυτό. Ασκώντας κατάλληλη οριζόντια δύναμη στη σφαίρα Α την μετατοπίζουμε, συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Δℓ=(2/π)m και κάποια στιγμή t0=0, την αφήνουμε να κινηθεί. Η σφαίρα αφού εγκαταλείψει το ελατήριο συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά τη στιγμή t1=0,55 s με τη Β σφαίρα.
i)  Να υπολογιστούν οι ταχύτητες της Α σφαίρας πριν και μετά την κρούση.
ii) Να εξηγήσετε (ποιοτικά) γιατί θα υπάρξει και δεύτερη σύγκρουση μεταξύ των δύο σφαιρών.
iii) Θεωρώντας αμελητέα τη διάρκεια της κρούσης, πόση θα είναι η απόσταση των δύο σφαιρών τη στιγμή t2=1,3 s;
 iv) Να βρεθούν οι ταχύτητες των σφαιρών μετά την δεύτερη μεταξύ τους κρούση.
Δίνεται π2≈10.
ή




Σάββατο, 3 Σεπτεμβρίου 2016

Οι ταχύτητες σε ελαστικές κρούσεις.

Οι σφαίρες Α και Β του διπλανού σχήματος, με ίσες ακτίνες και μάζες m και 3m αντίστοιχα, κινούνται στην ίδια ευθεία, σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με ταχύτητες υ1 και υ2=4m/s, χωρίς να στρέφονται. Κάποια στιγμή t=0, οι σφαίρες απέχουν κατά d=8m, ενώ μετά την κεντρική και ελαστική μεταξύ τους κρούση, η Α σφαίρα ακινητοποιείται.
i)  Να βρεθεί η ταχύτητα υ1 της Α σφαίρας.
ii) Πόσο απέχουν οι σφαίρες μεταξύ τους τη στιγμή t1=3s, αν η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα;
iii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των δύο σφαιρών μετά την κρούση, αν η σφαίρα Α είχε ταχύτητα:
  α) υ1=6m/s και β) υ1=16m/s.
iv) Αν οι δυο σφαίρες κινούνται αντίθετα, όπως στο δεύτερο σχήμα, με τη Β να έχει ταχύτητα μέτρου 4m/s, να υπολογιστεί η ταχύτητα της Α σφαίρας, αν μετά την κρούση, η Β παραμένει ακίνητη.
ή




Παρασκευή, 2 Σεπτεμβρίου 2016

Θέματα δεύτερης ανάγνωσης στην κινηματική του στερεού σώματος

Ταλάντωση και Bungee – Jumping

Ένας μικρόσωμος μαθητής μάζας m=50kg αποφασίζει να κάνει bungeejumping από γέφυρα ύψους Η=45m από το έδαφος. Δένεται λοιπόν με ελαστικό σχοινί μήκους L=15m το οποίο συμπεριφέρεται ως ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=50N/m, και χωρίς αρχική ταχύτητα πηδάει από την γέφυρα. Το σχοινί ασκεί δύναμη μόνο όταν είναι επιμηκυμένο. Θεωρούμε τις τριβές του αέρα αμελητέες έτσι ώστε η κίνηση του για τα πρώτα δεκαπέντε μέτρα, μέχρι το σχοινί να αρχίσει να τεντώνεται να μπορεί να θεωρηθεί ελεύθερη πτώση. Από την στιγμή που το σχοινί αρχίζει να τεντώνεται και έπειτα, ξεκινά αρμονική ταλάντωση, με σταθερά D=k.
i) Υπολογίστε την περίοδο της ταλάντωσης και βρείτε πόσο απέχει η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης από την θέση που το σχοινί αρχίζει να τεντώνεται (δηλαδή από την θέση που το σχοινί έχει το φυσικό του μήκος).
ii) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης y(t)  από την θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με τον χρόνο.
iii) Υπολογίστε το έργο της συνισταμένης δύναμης που δέχεται ο μαθητής, από την θέση που ξεκινά η ταλάντωση μέχρι την κατώτερη θέση που θα βρεθεί.

Ευτραφής καθηγητής φυσικής, μάζας Μ=100kg αποφασίζει να επαναλάβει το πείραμα, με σκοπό να σχεδιάσει άσκηση για το επόμενο διαγώνισμά του.
iv) Να εξετάσετε αν η ιδέα του ήταν σοφή ή όχι.
v) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της σταθεράς k΄ που θα έπρεπε να έχει ένα άλλο σχοινί το οποίο θα αντικαταστήσει το αρχικό και ο καθηγητής να μην κινδυνεύει να τραυματιστεί.

+) bonus uncut ερωτήματα
Δίνονται g=10m/s2, ...
                                            





Τετάρτη, 31 Αυγούστου 2016

Να πάμε αριστερά ή να πάμε δεξιά;

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε δύο ελατήρια με σταθερές k1 και k2 που ικανοποιούν την σχέση k1 = 2k2. Το σώμα Σ μάζας m βρίσκεται αρχικά στην θέση ισορροπίας. Το σύστημα το διεγείρουμε σε ταλάντωση με δύο τρόπους. Στην πρώτη περίπτωση μετακινούμε το σώμα προς τα αριστερά μέχρι να φτάσει το ελατήριο σταθεράς k1 στο φυσικό του μήκος και το αφήνουμε από εκεί να ταλαντωθεί, ενώ στην δεύτερη περίπτωση μετακινούμε το σώμα προς τα δεξιά μέχρι να φτάσει το ελατήριο σταθεράς k2 στο φυσικό του μήκος και το αφήνουμε ξανά να ταλαντωθεί. Αν ονομάσουμε Α1 το πλάτος για την πρώτη περίπτωση διέγερσης και Α2 το πλάτος για την δεύτερη περίπτωση διέγερσης και Ε1 και Ε2 τις αντίστοιχες ενέργειες ταλάντωσης τους τότε:
Α. Ο λόγος των περιόδων ταλάντωσης για τις δύο περιπτώσεις είναι ίσος με:

    

Πέμπτη, 25 Αυγούστου 2016

Ενέργειες ταλάντωσης, μετά από κρούσεις.

Το σώμα Σ, μάζας Μ=1kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m. Το σώμα Β, μάζας m=0,5kg κινείται με ταχύτητα υ2=3m/s, πάνω στον άξονα του ελατηρίου, με κατεύθυνση προς το Σ. Εκτρέπουμε το Σ προς τα αριστερά, συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά Δℓ=0,2m και σε μια στιγμή t0=0, όπου η απόσταση των δύο σωμάτων είναι d, το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Τα δυο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά τη χρονική στιγμή t1=0,5s.
i) Να υπολογιστεί η αρχική απόσταση d μεταξύ των δύο σωμάτων.
ii) Να βρεθεί η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ, μετά την κρούση.
iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα αφήνουμε άλλη στιγμή το σώμα Σ να ταλαντωθεί, με αποτέλεσμα ελάχιστα πριν την κρούση, να έχει ταχύτητα υ1=0,6m/s, με φορά προς τα δεξιά. Πόση θα είναι τώρα η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Σ, μετά την κρούση;
vi)  Ποιες οι δυνατές τιμές (αλγεβρικές) της ταχύτητας του σώματος Β, μετά την κρούση για διαφορετικές θέσεις κρούσης;
v) Να υπολογιστούν η μέγιστη και η ελάχιστη ενέργεια ταλάντωσης, την οποία μπορεί να αποκτήσει το Σ, μετά από ανάλογες κρούσεις με το σώμα Β, θεωρώντας πάντα σταθερή την ταχύτητα υ2 του σώματος Β, πριν την κρούση.
Δίνεται π2≈10.

ή




Σάββατο, 20 Αυγούστου 2016

Κρούση με ερωτηματικά.

Σφαίρα Σ1 με μάζα m1 = 3m, κινούμενη με ταχύτητα μέτρου υ1 = υ, συγκρούεται κεντρι­κά και ελαστικά με σφαίρα Σ2 με μάζα m2 = m και ταχύτητα μέτρου υ2 = υ, που κινείται στην αντίθετη κατεύθυνση από τη  σφαίρα Σ1, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Να δικαιολογήσετε τις παρακάτω προτάσεις.
α. Οι αλγεβρικές τιμές των ταχυτήτων των δύο σφαιρών μετά την κρούση είναι υ'1 = 0  καιυ'2 = υ
β. Τα μέτρα της ορμής της σφαίρας Σ2 πριν και μετά την κρούση συνδέονται με τη σχέση 2p'2 = p2 
γ. Το έργο της δύναμης που δέχεται η σφαίρα Σ1 κατά τη διάρκεια της κρούσης, είναι WF = –1,5mυ2.
δ. Οι κινητικές ενέργειες της σφαίρας Σ2 πριν και μετά την κρούση συνδέονται με τη σχέση Κ'2 = 4Κ2 
ε. Την στιγμή που μηδενίζεται η ταχύτητα της σφαίρας Σ2, η δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης των σφαιρών, είναι ίση με την κινητική ενέργεια που είχε η σφαίρα Σ2 πριν την κρούση.
στ. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης είναι της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Σ2 πριν την κρούση (Umax = 3Κ2).

       

Μια ταλάντωση και ένα διάγραμμα ταχύτητας.

Ένα σώμα Σ ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου. Ανεβάζουμε το σώμα κατακόρυφα κατά 0,4m, μέχρι τη θέση Ρ που το ελατήριο αποκτά το φυσικό μήκος του και το αφήνουμε να κινηθεί, ξαναπιάνοντάς το τη στιγμή που μηδενίζεται ξανά η ταχύτητά του. Στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα κάτω κατεύθυνση ως θετική.
Να δικαιολογήσετε τις παρακάτω προτάσεις.
i)  Η αρχική επιτάχυνση του σώματος είναι ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας g.
ii) Τη χρονική στιγμή t2 το σώμα έχει επιτάχυνση -g.
iii) Η αρχική φάση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης είναι φ0 =3π/2.
iv) Ισχύει t2-t1 = 0,1π (s), όπου  τη στιγμή t1 η ταχύτητα είναι μέγιστη.
v) Η μέγιστη δύναμη που ασκεί το σώμα Σ στο ελατήριο είναι διπλάσια του βάρους του.
Δίνεται g=10m/s2 .
ή