Τρίτη, 17 Οκτωβρίου 2017

Μια ταλάντωση και το ύψος

Ένα σώμα Σ μάζας 1kg, εκτελεί αατ στο άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου.
i)  Να αποδείξετε ότι το ύψος h του σώματος από το έδαφος, είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου.
ii)  Αν η γραφική παράσταση του ύψους του σώματος από το έδαφος είναι της μορφής του (α) σχήματος, να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας την προς τα πάνω κατεύθυνση ως θετική.

iii) Σε μια επανάληψη του πειράματος, το σώμα Σ κάποια στιγμή t1 συγκρούεται με δεύτερο σώμα Β, το οποίο κινείται κατακόρυφα, με αποτέλεσμα η γραφική παράσταση του ύψους σε συνάρτηση με το χρόνο, να είναι της μορφής του (β) σχήματος.
 α) Η κρούση αυτή είναι πλαστική ή όχι και γιατί;
 β) Το σώμα Β πριν την κρούση είχε ταχύτητα προς τα πάνω ή προς τα κάτω;
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
iv) Σε ένα άλλο πείραμα το σώμα Σ συγκρούεται με σώμα Γ, με αποτέλεσμα η αντίστοιχη γραφική παράσταση να είναι η (γ) στο παραπάνω σχήμα.
α) Πόση είναι η μάζα του σώματος Γ;
β) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος Γ ελάχιστα πριν την κρούση.
Δίνεται g=10m/s2 και π2≈10.
ή



Κυριακή, 15 Οκτωβρίου 2017

Μια άσκηση εξαναγκασμένης ταλάντωσης


Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση του σχήματος η γωνιακή
συχνότητα του διεγέρτη είναι 5 rad/s.
Μετά την πάροδο των μεταβατικών φαινομένων
αποκαθίσταται ταλάντωση πλάτους 0,2 m.
Η ταλάντωση έχει φάση μικρότερη αυτής του διεγέρτη κατά π/4.
1. Να υπολογίσετε την δύναμη του διεγέρτη και την απόσβεση.
2. Ποια πρέπει να είναι η συχνότητα του διεγέρτη ώστε η φάση της ταλάντωσης να είναι μικρότερη αυτής του διεγέρτη κατά 2π/3 ;

Συνέχεια:

Παρασκευή, 13 Οκτωβρίου 2017

Ταλαντώσεις σε κάθετες διευθύνσεις



Το σώμα Σ1 του διπλανού σχήματος είναι μια μικρή εντελώς λεία σφαίρα η οποία μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο. Έχει μάζα m1 = 1kg και ισορροπεί  ακίνητη στη θέση Ο.  Οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται σε αυτήν είναι η δύναμη F η οποία είναι σταθερής διεύθυνσης και φοράς, με μέτρο F = 20N και η δύναμη Ν της οποίας ο φορέας είναι η ευθεία που διέρχεται από το σώμα Σ1 και το σημείο Κ, η φορά της είναι πάντα προς το σημείο Κ και το μέτρο της δίνεται από τη σχέση Ν = 100·r (SI), όπου r η απόσταση του σώματος από το σημείο Κ.
  i)      Εκτρέπουμε το σώμα Σ1 από τη θέση που ισορροπεί προς τα δεξιά (κατά τη θετική φορά του άξονα χ) κατά 0,1m και τη χρονική στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο.  Αφού αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα χ, να δώσετε τη συνάρτηση απομάκρυνσης – χρονικής στιγμής .
 ii)    Αντικαθιστούμε το σώμα Σ1 με σώμα Σ2  το οποίο επίσης είναι μια μικρή εντελώς λεία σφαίρα η οποία μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο και έχει μάζα m2 = 9 kg.  Το Σ2 δέχεται τις ίδιες δυνάμεις με το Σ1 και ισορροπεί στη θέση Ο.  Εκτρέπουμε το σώμα Σ2 από τη θέση που ισορροπεί προς τη θετική φορά του άξονα ψ κατά 0,3m και τη χρονική στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο.  Αφού αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα ψ, να δώσετε τη συνάρτηση απομάκρυνσης – χρονικής στιγμής .
 iii )      Τοποθετούμε το σώμα Σ1 στη θέση x = +0,1m  και το σώμα Σ2  στη θέση y= +0,3m και τη χρονική στιγμή t0 = 0 τα αφήνουμε ελεύθερα να κινηθούν.  Να βρείτε ποια χρονική στιγμή θα συγκρουστούν. 
 iv)    Η κρούση των δύο σωμάτων είναι ελαστική αμελητέας χρονικής διάρκειας.  Θεωρούμε ότι οι εσωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα στη διάρκεια της κρούσης έχουν φορέα τον άξονα χ. Να βρείτε το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του Σ2 κατά την κρούση. 
 v)  Να δώσετε τη γραφική παράσταση  για το σώμα Σ1 από τη στιγμή που αφέθηκε ελεύθερο μέχρι τη στιγμή που συμπληρώνεται μια πλήρης ταλάντωση μετά την κρούση.



Η στατική τριβή κατά την περιστροφή

Ο οριζόντιος δίσκος του σχήματος, μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο και ηρεμεί. Τοποθετούμε πάνω του ένα σώμα Σ, μάζας m=2kg, το οποίο θεωρείται υλικό σημείο, σε απόσταση R=2m από το κέντρο του. Σε μια στιγμή ο δίσκος τίθεται σε περιστροφή και στο σχήμα δίνεται το γράφημα της γωνιακής του ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο, ενώ το σώμα Σ κινείται κυκλικά χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο δίσκο.
i)  Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου, καθώς και η επιτρόχια επιτάχυνση του σώματος Σ τη χρονική στιγμή t1=1s.
ii) Να βρεθεί η τριβή (μέτρο και κατεύθυνση) η οποία ασκείται στο σώμα Σ τη στιγμή t0=0+ (αμέσως μόλις αρχίσει η περιστροφή).
iii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση για την ασκούμενη τριβή τη χρονική στιγμή t2=5s;
iv) Σε μια επανάληψη του πειράματος, ο δίσκος τίθεται ξανά σε περιστροφή με την ίδια γωνιακή επιτάχυνση, χωρίς αυτή να μηδενίζεται τη στιγμή t=4s, οπότε παρατηρούμε ότι το σώμα Σ αρχίζει να ολισθαίνει τη χρονική στιγμή t3=4,2s. Να υπολογιστεί ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ του σώματος και του δίσκου.
Στον σχεδιασμό της δύναμης τριβής, σε κάθε περίπτωση, να μην αναζητηθεί η ακριβής θέση του σώματος και η γωνία κατά την οποία έχει περιστραφεί ο δίσκος.
Δίνεται g=10m/s2.
ή


Πέμπτη, 12 Οκτωβρίου 2017

Ενέργεια ταλάντωσης vs Μηχανικής Ενέργειας


Μια πλάκα Β εκτελεί κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση στο πάνω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m με πλάτος Α1=0,2m.
i)  Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης.
ii) Πόση είναι η μηχανική ενέργεια του συστήματος πλάκα-ελατήριο; Θεωρείστε το οριζόντιο επίπεδο που περνά από τη θέση ισορροπίας, ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας.
iii) Τη στιγμή που η πλάκα φτάνει στην κάτω ακραία θέση της, τοποθετείται πάνω της (χωρίς ταχύτητα) ένα σώμα Γ μάζας 2kg. Να βρεθεί η ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος πλάκα-σώμα Γ.

ή

Τετραγωνισμένη ταλάντωση.

Σώμα μάζας m = 2 kg, είναι δεμένο στο άκρο οριζοντίου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο τοίχο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το σώμα βρίσκεται αρχικά ακίνητο στην αρχή των αξόνων (x = 0) και την χρονική στιγμή t0 = 0 ασκούμε οριζόντια σταθερή δύναμη F έτσι ώστε να παραμορφώνει το ελατήριο. Η κίνηση του σώματος, περιγράφεται από τη σχέση x = 0,4ημ2(5t) (S.I.).
α. να βρείτε αν αρχικά η δύναμη F συσπειρώνει ή συμπιέζει το ελατήριο
β. να γράψετε την εξίσωση της κινητικής ενέργειας της ταλάντωσης
γ. να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F
δ. να υπολογίσετε την δύναμη επαναφοράς όταν το σώμα βρίσκεται στην θέση x1 = 0,3 m.
ε. αν είναι γνωστό ότι η δύναμη F καταργείται μία χρονική στιγμή t1 όπου το σώμα επιβραδυνόταν και νέα ταλάντωση που αρχίζει έχει πλάτος Α′ = 0,2√3 m να βρείτε την κινητική ενέργεια τη στιγμή t1.
Δίνεται η τριγωνομετρική ταυτότητα συν2x = 1 – 2ημ2x.
   

Τρίτη, 10 Οκτωβρίου 2017

Ταλάντωση και ανελαστική κρούση


Μια μικρή σφαίρα ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, το πάνω άκρο του οποίου έχει στερεωθεί στο ταβάνι ενός δωματίου. Στην θέση ηρεμίας η σφαίρα απέχει κατά d, από το δάπεδο του δωματίου. Μετακινούμε κατακόρυφα προς τα πάνω την σφαίρα, μέχρι να έρθει σε ύψος h=3d, από το δάπεδο και σε μια στιγμή t=0, την αφήνουμε να εκτελέσει  αατ.
i)   Η σφαίρα θα συγκρουσθεί με το δάπεδο τη χρονική στιγμή:
α) t1=2T/5,    β) t1=T/3,      γ) t1=3T/5.
ii)  Αν κατά την κρούση της σφαίρας με το δάπεδο, η κινητική της ενέργεια μειώνεται κατά 20%, τότε η νέα ταλάντωση (μετά την κρούση), θα έχει μικρότερη ενέργεια ταλάντωσης, σε σχέση με την αρχική, κατά:
α) 10%,   β) 15%,   γ) 20%,   δ) 25%.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

ή

Δευτέρα, 9 Οκτωβρίου 2017

Η εκδίκηση του στρεφόμενου διανύσματος

Ένα σώμα μάζας m=2kg εκτελεί αρμονική ταλάντωση της οποίας η εξίσωση προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων x1=20√2·ημ(10t+π/4)S.I., x2=35·ημ(10t+π/2)S.I., x3=15√3·ημ(10t)S.I., x4=60·ημ(10t+7π/6)S.I. και x5=20·ημ(10t+π) S.I.

i) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος την χρονική στιγμή t=π/20s είναι:

Κυριακή, 8 Οκτωβρίου 2017

Πόσο είναι το συνολικό διάστημα που θα διανύσει το Σ2 ;

Στο σχήμα απεικονίζεται ένα σύστημα δύο σωμάτων Σ1 και Σ2 μαζών m1=1kg , m2=4kg αντίστοιχα που συνδέονται με ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100N/m που βρίσκεται στο φυσικό του μήκος lo=1m. Η περιοχή που βρίσκεται το Σ1 είναι λεία ενώ η περιοχή που βρίσκεται το Σ2 είναι τραχιά με συντελεστή οριακής τριβής ίσο με το συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,8. Δίνονται: επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2


Παρασκευή, 6 Οκτωβρίου 2017

Αποκρύπτοντας το στρεφόμενο διάνυσμα

Ένα σώμα μάζας m =20g εκτελεί  κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών
ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, ίδιας συχνότητας και γύρω από το ίδιο σημείο. Οι εξισώσεις των επιμέρους ταλαντώσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
i) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης από την Θ.Ι. σε συνάρτηση με τον χρόνο για τις δύο επιμέρους ταλαντώσεις.
ii) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης από την Θ.Ι. για την σύνθετη κίνηση.