Σάββατο, 24 Φεβρουαρίου 2018

Ένας δίσκος σε οριζόντιο επίπεδο

Ένας οριζόντιος δίσκος ακτίνας R=0,8m κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή t0=0, βρίσκεται στη θέση που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Τη στιγμή αυτή, το σημείο Α του δίσκου, το οποίο απέχει κατά x=0,5m από το κέντρο Ο του δίσκου, έχει μηδενική ταχύτητα, ενώ το συμμετρικό του, ως προς το Ο σημείο Β, έχει ταχύτητα μέτρου υΒ=4m/s, στη διεύθυνση του άξονα y.
i)  Να βρεθούν η ταχύτητα του κέντρο Ο του δίσκου, καθώς και του σημείου Γ, στο άκρο της ακτίνας στη διεύθυνση x, τη στιγμή t0.
ii) Αν το σημείο Δ του σχήματος, στο άκρο της ακτίνας στη διεύθυνση y, τη στιγμή αυτή έχει επιτάχυνση μέτρου 13 m/s2, με κατεύθυνση προς το κέντρο Ο του δίσκου, ενώ την ίδια διεύθυνση έχει και η επιτάχυνση του κέντρου Ο  του δίσκου, να υπολογιστούν η επιτάχυνση του κέντρου μάζας Ο, καθώς και η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου.
iii) Αν ο δίσκος διατηρεί σταθερές τις επιταχύνσεις του προηγούμενου ερωτήματος, να υπολογιστούν τα μέτρα των ταχυτήτων των σημείων Α και Γ τη χρονική στιγμή t1=10s, καθώς και ο αριθμός των περιστροφών του δίσκου, μέχρι τη στιγμή αυτή.
ή



Πέμπτη, 22 Φεβρουαρίου 2018

Τοπικότητα και μη τοπικότητα στο ηχητικό φαινόμενο Doppler.

Η ερμηνεία των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από την εφαρμογή του γνωστού τύπου για το φαινόμενο Doppler στην περίπτωση των ηχητικών κυμάτων, μπορεί να γίνει με βάση δύο διαφορετικές παραδοχές.
Η πρώτη από αυτές προϋποθέτει ότι το κύμα είναι επίπεδο, δηλαδή η απόσταση πηγής – παρατηρητή είναι πολύ μεγάλη και είναι η προσέγγιση του επίπεδου κύματος (plane wave approximation) ή η προσέγγιση της πολύ μικρής περιόδου (the very small period approximation).
Τοπικότητα και μη τοπικότητα στο ηχητικό φαινόμενο Doppler.

Τετάρτη, 21 Φεβρουαρίου 2018

Από τη γωνία σε γωνιακή ταχύτητα-επιτάχυνση

Ένας δίσκος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα z, κάθετο στο επίπεδό του, που περνά από το κέντρο του Ο, όπως στο σχήμα. Αναφερόμενοι σε μια ακτίνα ΟΑ, θέλοντας να προσδιορίσουμε τη θέση της, χρειαζόμαστε μια εξίσωση φ=f(t), της γωνιακής θέσης της ακτίνας σε συνάρτηση με το χρόνο. Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της ακτίνας (συνεπώς και του δίσκου) και η αντίστοιχη γωνιακή της επιτάχυνση, κάνοντας και τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις ω=ω(t) και αγων=α(t) στις παρακάτω περιπτώσεις:
i)  φ=2t  (S.Ι.),   ii)  φ= 4+3t  (S.Ι.),   iii) φ= 5-2t  (S.Ι.),   
iv) φ=2t2 (S.Ι.),     v)  φ=4-t2  (S.Ι.),   vi) φ=0,2∙ημ(5t)   (S.Ι.)
ή


Τρίτη, 20 Φεβρουαρίου 2018

234. Καρούλι σε κεκλιμένο επίπεδο



Το καρούλι του σχήματος μάζας m=0,2Kg και ακτίνας R βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=300. Σε απόσταση r από το κέντρο του και πάνω σε αυτό βρίσκεται τυλιγμένο κατάλληλα ένα αβαρές νήμα που μπορεί να ξετυλίγεται ή να τυλίγεται χωρίς να γλιστρά. Στο ελεύθερο άκρο αυτού του σχοινιού ασκείται σταθερή δύναμη F=4Ν.

Τότε:
α) Ποια γωνία θ πρέπει να σχηματίζει η δύναμη  F με το κεκλιμένο επίπεδο ώστε το καρούλι να ισορροπεί;
Να υπολογιστεί σε αυτή την περίπτωση η στατική τριβή που δέχεται αυτό από το δάπεδο.

β) Αν η δύναμη F σχηματίζει με το κεκλιμένο επίπεδο γωνία θ με συνθ=0,8 τότε να υπολογιστεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του καρουλιού.

Για την παραπάνω επιτάχυνση,
γ) να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του καρουλιού τη χρονική στιγμή t=3s.

δ) να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της ιδιοστροφορμής του καρουλιού, αν δίνεται η ακτίνα του R=4cm.
Δίνεται η ροπή αδράνειας ως προς το Κ.Μ του καρουλιού Ιcm=I  και g=10m/s2.

Συνοπτική λύση:

233. Τροχός που κυλίεται και μάζα που ολισθαίνει



Γύρω από τον ομογενή τροχό του σχήματος μάζας m=4Κg και ακτίνας R, είναι τυλιγμένο πολλές φορές ένα αβαρές νήμα. Το ελεύθερο άκρο του νήματος δένεται με σώμα μάζας M=1Kg. Τη χρονική στιγμή t0=0 αφήνουμε τον τροχό ελεύθερο να κινηθεί.  Ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=300.
Αν η Μ ολισθαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης ανάμεσα στο κεκλιμένο επίπεδο και τη μάζα Μ είναι μ=, τότε:
α) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας της m.
β)  Αν το αρχικό μήκος του νήματος είναι L=1m τότε σε πόσο χρόνο t1 θα συγκρουστούν τα δύο σώματα;
γ) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της κάθε μια μάζας, καθώς και του συστήματος τους τη χρονική στιγμή t2=t1/2,
δ) Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της κάθε μια μάζας καθώς και του συστήματος τους ως προς το σημείο Α του κεκλιμένου επιπέδου, αν δίνεται η ακτίνα του τροχού R=0,1m.
Δίνεται  για τον τροχό Ιcm και g=10m/s2. Ακόμη οι διαστάσεις του Μ είναι τέτοιες ώστε για τις συνθήκες του προβλήματος να μην ανατρέπεται.

Συνοπτική λύση:

Τρίτη, 13 Φεβρουαρίου 2018

Μια αντλία, γιατί βιαζόμαστε…

Με τη βοήθεια ενός σωλήνα σταθερής διατομής, γεμίζουμε ένα δοχείο Α με νερό όγκου 4L, από μια μεγάλη δεξαμενή, όπου το νερό εξέρχεται από βάθος h=0,2m, σε χρονικό διάστημα 10s.
i)  Ποια η ταχύτητα εκροής του νερού και πόσο το εμβαδόν της διατομής της φλέβας τη στιγμή της εξόδου, την οποία θεωρούμε ίση με τη διατομή του οριζόντιου σωλήνα;
ii) Προκειμένου να γεμίσουμε ένα μεγαλύτερο δοχείο Β  με νερό όγκου 40L, παρεμβάλουμε στον ίδιο σωλήνα, μια αντλία. Το αποτέλεσμα είναι το δοχείο Β να γεμίζει σε χρόνο 40s.
α) Να βρεθεί η νέα ταχύτητα εκροής του νερού.
β) Πόση είναι η ισχύς της αντλίας (ο ρυθμός με τον οποίο παρέχει ενέργεια στο νερό η αντλία);
Το νερό να θεωρηθεί ιδανικό ρευστό πυκνότητας ρ=1.000kg/m3, καθώς και οι ροές μόνιμες και στρωτές και στις δύο περιπτώσεις, ενώ g=10m/s2.
ή






Δευτέρα, 12 Φεβρουαρίου 2018

Η έλικα ενός ελικοπτέρου


Ένα ελικόπτερο κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ=60m/s κατά μήκος του κεντρικού άξονα. Το μήκος της έλικας είναι L=15m και περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το σημείο Κ. Αν κάποια στιγμή η ταχύτητα του σημείου της έλικας στη θέση Β έχει μέτρο υΒ=30m/s, και την φορά που φαίνεται στο σχήμα 1 τότε
i) Να βρείτε την ταχύτητα του σημείου της έλικας στη θέση Α την ίδια στιγμή.
ii) Προσδιορίστε αν υπάρχει σημείο στην έλικα στη θέση του σχήματος 1 που να έχει μηδενική ταχύτητα.
iii) Βρείτε αν υπάρχει άλλο σημείο σε οποιαδήποτε θέση της έλικας που να έχει μηδενική ταχύτητα.
Συνέχεια 

Τετάρτη, 7 Φεβρουαρίου 2018

Άλλο ένα τμήμα δικτύου.

Στο σχήμα βλέπετε ένα τμήμα ενός δικτύου ύδρευσης, όπου  στα οριζόντια τμήματα έχουμε σωλήνες με σταθερές διατομές Α1 και Α2, όπου Α1=2Α2. Οι δυο σωλήνες απέχουν κατακόρυφα κατά h, ενώ πάνω τους έχουμε προσαρμόσει δυο λεπτούς κατακόρυφους σωλήνες, ύψους h, κλειστούς στα πάνω άκρα τους, οι οποίοι έχουν γεμίσει με νερό, χωρίς να έχει εγκλωβιστεί αέρας στο εσωτερικό τους. Αν η ταχύτητα εκροής από το δεξιό άκρο του λεπτού σωλήνα, συνδέεται με το ύψος h με την σχέση 3υ2=8gh όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας, τότε για τις πιέσεις στα σημεία Κ και Λ, στις πάνω βάσεις των δύο κατακόρυφων σωλήνων ισχύει:
i) pΚ > pΛ,     ii) pΚ = pΛ,    iii) pΚ < pΛ.
Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
ή




Κυριακή, 4 Φεβρουαρίου 2018

Μια στροφική κίνηση ενός δίσκου


Ο οριζόντιος δίσκος αρχίζει να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονατην t=0, που διέρχεται από το
κέντρο του όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του για όλο το χρονικό διάστημα που στράφηκε μεταβάλλεται όπως φαίνεται στο σχήμα 2.
i) Να χαρακτηρίσετε το είδος της στροφικής κίνησης που εκτελεί ο δίσκος.
ii) Για το χρονικό διάστημα 2<t<3sec να σχεδιαστούν τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και της γωνιακής επιτάχυνσης.

Σάββατο, 3 Φεβρουαρίου 2018

Μια κοίλη σφαίρα και η άνωση

Από μια ομογενή σφαίρα ακτίνας R, έχουμε αφαιρέσει μια σφαιρική περιοχή ακτίνας r= ½ R, το κέντρο της οποίας Κ, απέχει d=14cm από το κέντρο Ο της σφαίρας.
i)  Να βρεθεί το κέντρο μάζας Σ της κοίλης σφαίρας.
ii) Η κοίλη σφαίρα βυθίζεται σε ένα δοχείο με νερό σε ορισμένο βάθος και αφήνοντάς την, παρατηρούμε ότι παραμένει στη θέση της (δεν ανεβαίνει, ούτε κατεβαίνει). Να υπολογιστεί η πυκνότητα του υλικού από το οποίο είναι κατασκευασμένη, αν η πυκνότητα του νερού είναι ρ=1g/cm3.
iii) Η παραπάνω σφαίρα αφήνεται στη θέση που φαίνεται στο (α) σχήμα, σε ορισμένο βάθος μέσα στο δοχείο με το νερό. Θα ισορροπήσει; Αν όχι, ποιο από τα διπλανά σχήματα δείχνει την τελική θέση ισορροπίας της;


ή



Τετάρτη, 31 Ιανουαρίου 2018

Το γέμισμα δύο δοχείων.


 
Θέλουμε να αντλήσουμε νερό από μια υπερυψωμένη δεξαμενή, μέσω ενός σωλήνα-λάστιχου και να γεμίσουμε δύο δοχεία, ίδιου όγκου. Αυτό μπορούμε να το κάνουμε, με τους τρόπους που περιγράφονται στο διπλανό σχήμα.
Για το Α δοχείο, χρησιμοποιούμε ένα κοντό λάστιχο, μετακινώντας το κάτω άκρο του, ώστε να βρίσκεται διαρκώς στην επιφάνεια του νερού στο δοχείο. Με τον τρόπο αυτό, για να γεμίσουμε το δοχείο απαιτείται χρόνος t1= 50s.
Το δοχείο Β, το γεμίζουμε χρησιμοποιώντας ένα όμοιο αλλά μακρύτερο λάστιχο, προσέχοντας το άκρο του να ακουμπά συνεχώς στη βάση του δοχείου.
i)  Αν η ροή του νερού, θεωρηθεί ροή ιδανικού ρευστού, τότε για να γεμίσει το δοχείο Β, θα απαιτηθεί χρονικό διάστημα:
α) t2=40s,  β)  t2=50s,    γ) t2=60s.
ii) Στην πραγματικότητα βέβαια το νερό δεν είναι ιδανικό ρευστό αλλά πραγματικό! Τότε για να γεμίσει το Β δοχείο θα απαιτηθεί χρονικό διάστημα:
α) t2=40s,  β)  t2=50s,    γ) t2=60s.
ή


Το γέμισμα δύο δοχείων.