Τετάρτη, 24 Μαΐου 2017

Η Ιθάκη … αχνοφαίνεται ακόμη.

Στο διπλανό σχήμα τα δύο ελατήρια έχουν σταθερές k1 και k2 = 2k1. Αρχικά το σύστημα ισορροπεί με το κάθε ελατήριο να είναι παραμορφωμένο κατά Δℓ1 και Δℓ2 αντίστοιχα. Στην Θ.Ι. το ελατήριο σταθεράς k2 έχει διπλάσια δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης από το ελατήριο σταθεράς k1. Ανασηκώνουμε το σώμα Σ μάζας m μέχρι τη θέση όπου το ελατήριο σταθεράς k2 δεν ασκεί καμιά δύναμη στο σώμα Σ. Από την θέση αυτή αφήνουμε το σώμα να εκτελέσει ταλάντωση σταθεράς D = k1 + k2. Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης τις στιγμές που το ελατήριο σταθεράς k1 δεν έχει αποθηκευμένη ενέργεια, είναι:

   

Δευτέρα, 22 Μαΐου 2017

Ένα σύστημα και η στροφορμή του

Στο σχήμα, τα σώματα Α και Β, με μάζες m1 και m2 κινούνται προς τα κάτω περιστρέφοντας την τροχαλία, μάζας Μ και ακτίνας R, η οποία στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδό της, που περνά από το κέντρο της Ο.
i) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος, ως προς τον άξονα  περιστροφής της τροχαλίας είναι:
α) dL/dt=Ιτρ∙αγων,   β) dL/dt=Τ∙R,   γ) dL/dt=(m1+m2)g∙R,  δ) dL/dt=(Μ+m1+m2)g∙R
ii) Κάποια στιγμή κόβεται το νήμα που συνδέει τα σώματα Α και Β. Μετά από αυτό, το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος, ως προς τον άξονα  περιστροφής της τροχαλίας είναι:
α) dL/dt=Ιτρ∙αγων,   β) dL/dt=(Μ+m1)g∙R,   γ) dL/dt=(m1+m2)g∙R,  δ) dL/dt=(Μ+m1+m2)g∙R
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας

ή


Κυριακή, 21 Μαΐου 2017

Τι ελεύθερη πτώση, τι ταλάντωση.


Ένα σώμα Σ1 είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k.  Ανεβάζουμε το σώμα μέχρι κάποια θέση και την χρονική στιγμή t0 = 0 αφήνουμε το σώμα να εκτελέσει Α.Α.Τ. (σταθεράς D = k). Από την ίδια θέση που αφήσαμε το Σ1 αφήνουμε ένα άλλο σώμα Σ2. Όταν το σώμα Σ2 περνά από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης έχει ταχύτητα ίση με αυτή που έχει το Σ1 στη θέση αυτή.
Α. Η αρχική απομάκρυνση d των σωμάτων από την Θ.Ι. της ταλάντωσης του Σ1, σε σχέση με την αρχική παραμόρφωση Δℓ0 του ελατηρίου, είναι:

   

Σάββατο, 20 Μαΐου 2017

Κύλιση πέρα-δώθε

Δακτύλιος μάζας Μ και ακτίνας R έχει συγκολλημένη στο εσωτερικό της περιφέρειάς της σημειακή μάζα m=Μ στο σημείο Α, έτσι ώστε η ΚΑ να είναι οριζόντια. Σε αυτή τη θέση ισορροπούμε το σύστημα εφαρμόζοντας μια οριζόντια δύναμη F στο ανώτερο σημείο του δακτυλίου.


Μια συμβολή από μη σύγχρονες πηγές

Στην επιφάνεια ενός μεγάλου δοχείου με νερό ηρεμούν δυο πηγές. Σε μια στιγμή t=0 οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται με εξισώσεις y1=Α∙ημ2πft   και y2=2Α∙ημ3πft (μονάδες στο S.Ι.), δημιουργώντας εγκάρσια κύματα που διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού.
Ένα σημείο Ο βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος που συνδέει τις δύο πηγές.
i) Πρώτο θα φτάσει στο Ο:
α) το κύμα από την πηγή (1)
β) το κύμα (2)
γ) Τα κύματα θα φτάσουν ταυτόχρονα στο Ο.
ii) Αν η συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο Ο αρχίζει την στιγμή t0, τότε τη στιγμή t1=t0+3/f:
α) Η απομάκρυνση του σημείου Ο, από τη θέση ισορροπίας του είναι:
a) -Α,        b) 0,        c) 1,5Α,        d) 3Α.
β) Η ταχύτητα ταλάντωσης του Ο έχει τιμή:
a) υ1=-4πfΑ,   b) υ1=-2πfΑ,   c) υ1=2πfΑδυ1=4πfΑ.
Να δικαιολογήσετε αναλυτικά τις απαντήσεις σας.

Παρασκευή, 19 Μαΐου 2017

Ένα γιο γιο σε μια τροχαλία

Ο δίσκος Δ1 του σχήματος μάζας Μ και ακτίνας R, αναρτάται σε σταθερό σημείο και μπορεί να στρέφεται περι άξονα που διέρχεται από το Ο. Μέσω νήματος συνδέουμε έναν πανομοιότυπο δίσκο Δ2 και προκύπτει το σύστημα του διπλανού σχήματος. Το νήμα είναι τυλιγμένο πολλές φορές σε κάθε δίσκο. Αρχικά συγκρατούμε το σύστημα ακίνητο και την t=0 αφήνουμε ελεύθερο τον δίσκο Δ2 ενώ το νήμα παραμένει συνεχώς τεντωμένο και κατακόρυφο.  H ροπή αδράνειας κάθε δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας είναι Ιcm =MR2/2
i) Η γωνιακή επιτάχυνση των δύο δίσκων ικανοποιούν τη σχέση

α) 2αγ1γ2                   β) αγ1=2αγ2                   γ) αγ1γ2

Πέμπτη, 18 Μαΐου 2017

Στοιχεία από δύο ταλαντώσεις.

Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στα άκρο ιδανικού ελατηρίου, όπως στο σχήμα. Σε μια στιγμή t0=0 ασκείται στο σώμα μια σταθερή οριζόντια δύναμη F με αποτέλεσμα να αρχίσει να κινείται προς τα δεξιά. Τη στιγμή t1 το σώμα έχει μέγιστη ταχύτητα ενώ τη στιγμή t2 η ταχύτητα μηδενίζεται για πρώτη φορά. Τη στιγμή αυτή η δύναμη F παύει να ασκείται στο σώμα, με αποτέλεσμα τη στιγμή t3 το σώμα να φτάνει  ξανά στην αρχική του θέση.
i) Αν Κ1 η κινητική ενέργεια του σώματος τη στιγμή t1 και Κ3 η αντίστοιχη κινητική ενέργεια τη στιγμή t3 ισχύει:
α) Κ31,  β) Κ3=2Κ1,   γ) Κ3=3Κ1,   δ) Κ3=4Κ1.
ii) Για τη χρονική στιγμή t3 ισχύει:
α) t3=2t2,  β) t3=3t1,   γ) t3=3t2.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή



Τρίτη, 16 Μαΐου 2017

Κύλινδρος σε ισορροπία και ολίσθηση

Κύλινδρος μάζας Μ=6kg και ακτίνας R βρίσκεται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30ο. Στον

κύλινδρο έχουμε ανοίξει ομοαξονικό αυλάκι ακτίνας r=R/2 και έχουμε τυλίξει πολλές γύρω από αυτό αρκετό νήμα. Στο άκρο A του νήματος ασκούμε δύναμη μέτρου F. O μέγιστος συντελεστής τριβής μεταξύ επιπέδου και κυλίνδρου είναι μορ=Ö3/2. Θεωρούμε ότι το αυλάκι δεν επηρεάζει τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου η οποία ως προς το κέντρο μάζας είναι Ιcm=MR2/2.

i) Η τιμή της F και της στατικής τριβής ώστε ο κύλινδρος να ισορροπεί είναι: 

Δύναμη από άξονα και εσωτερική δύναμη.

Σημειακό σώμα Σ μάζας m βρίσκεται κολλημένο στο ένα άκρο ράβδου μάζας M = 12m και μήκους ℓ. Το άλλο άκρο της ράβδου είναι αρθρωμένο στο σημείο Ο και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από τον άξονα της χωρίς τριβές. Αρχικά συγκρατούμε το σύστημα ράβδος – σώμα σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Την στιγμή t0 = 0  αφήνουμε το σύστημα από την οριζόντια θέση:
Α. Η δύναμη που ασκεί η ράβδος στο σώμα Σ τη χρονική στιγμή t0 = 0:

Δευτέρα, 15 Μαΐου 2017

Μια ισορροπία σε κεκλιμένο επίπεδο…

Το στερεό του σχήματος, βάρους w, αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονικούς δίσκους με ακτίνες R και r= ½R  αντίστοιχα. Το στερεό ισορροπεί όπως στο σχήμα σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου ημθ=0,6, ενώ στον δίσκο ακτίνας r έχουμε τυλίξει αβαρές μη εκτατό νήμα και στο άκρο του Α ασκούμε δύναμη μέτρου F, παράλληλης στο επίπεδο.
i) Να εξηγήσετε γιατί το κεκλιμένο επίπεδο δεν είναι λείο.
ii) Να σχεδιάστε την τριβή που ασκείται στο στερεό, δικαιολογώντας και την κατεύθυνσή της.
iii) Το μέτρο της δύναμης F είναι ίσο:
α) F=0,2w,    β) F=0,4w,     γ) F=0,6w.  
όπου w το βάρος του στερεού.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
ή

Σάββατο, 13 Μαΐου 2017

Τσιγκουνιά στα δεδομένα.

Ένα σώμα Σ μάζας m = 1 kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k. Με μία δύναμη μεταβλητού μέτρου ανεβάζουμε πολύ αργά το σώμα μέχρι τη θέση όπου το ελατήριο έχει την ίδια αποθηκευμένη ενέργεια με αυτή που είχε όταν ισορροπούσε. Την χρονική στιγμή t0 = 0 αφήνουμε το σώμα από την θέση που το είχαμε προηγουμένως ανεβάσει και αυτό εκτελεί ταλάντωση σταθεράς D = k. Η επιτάχυνση του ταλαντούμενου σώματος γίνεται κατά μέτρο ίση με την επιτάχυνση της βαρύτητας για πρώτη φορά την χρονική στιγμή t1 = π/30 s. Να βρείτε:
α. τον χρόνο που χρειάζεται ώστε να ακινητοποιηθεί το σώμα για πρώτη φορά μετά την έναρξη της ταλάντωσης του
β. την ενέργεια που δαπανήσαμε για να θέσουμε το σώμα σε ταλάντωση
γ. την επιτάχυνση του σώματος (μέτρο και κατεύθυνση) όταν η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι 2,42 J
δ. το μέτρο της μέγιστης μεταβολής της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας του σώματος κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του.
Δίνεται g = 10 m/s2, θετική θεωρούμε την φορά προς τα πάνω.