Κυριακή, 31 Μαρτίου 2013

Παραλλαγή άσκησης του Δημήτρη Αναγνώστου.


Σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ακίνητος δίσκος μάζας 1 kg ακτίνας 0,2 m. Το κέντρο του είναι συνδεδεμένο μέσω αβαρούς και μη εκτατού νήματος με ακίνητο σημείο Ο. Η απόσταση ΟΚ είναι ℓ = 0,4 m.
Δεύτερος όμοιος δίσκος κινείται όπως στο σχήμα με ταχύτητα 5 m/s. Η μεταξύ τους κρούση είναι ελαστική και τριβές δεν αναπτύσσονται μεταξύ των δίσκων.
  1. Να βρείτε τις τελικές ταχύτητες των δίσκων.
  2. Τι θα συνέβαινε αν στη θέση του νήματος υπήρχε αβαρής ράβδος η οποία θα επέτρεπε την ελεύθερη ως προς αυτήν περιστροφή του δίσκου;
  3. Τι θα συνέβαινε αν στη θέση του νήματος υπήρχε αβαρής ράβδος η οποία δεν θα επέτρεπε την ελεύθερη ως προς αυτήν περιστροφή του δίσκου
Θεωρήσατε ότι το τέντωμα δεν προκαλεί θερμικές απώλειες μηχανικής ενέργειας στο νήμα και στις ράβδους.

Μέχρι να πέσει το σώμα…

Γύρω από έναν κύλινδρο μάζας Μ=20kg και ακτίνας R=0,5m είναι τυλιγμένο ένα νήμα, στο άκρο του οποίου έχει δεθεί ένα σώμα Σ μάζας 1kg το οποίο θεωρούμε υλικό σημείο. Το σώμα Σ είναι τοποθετημένο σε ακλόνητο τραπέζι, ενώ ο κύλινδρος στο λείο έδαφος, με τέτοιο τρόπο ώστε το νήμα που συνδέει τα δυο σώματα να είναι οριζόντιο και τεντωμένο. Το σώμα Σ απέχει κατά d=1m από το άκρο του τραπεζιού, ενώ παρουσιάζει συντελεστή τριβή μ=0,09 με την επιφάνεια του τραπεζιού. Σε μια στιγμή t0=0 ασκούμε στο κέντρο του κυλίνδρου οριζόντια σταθερή δύναμη F=5Ν. Να υπολογιστούν:
i)  Η επιτάχυνση του σώματος Σ και η επιτάχυνση του άξονα του κυλίνδρου.
ii) Το έργο της δύναμης F, μέχρι τη στιγμή που το σώμα Σ εγκαταλείπει το τραπέζι.
iii) Την κινητική ενέργεια κάθε σώματος την παραπάνω στιγμή.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.
ή

Σάββατο, 30 Μαρτίου 2013

Ζεύγος δυνάμεων - Κύλιση - Κρούση



Ομογενής σφαίρα μάζας Μ=2kg και ακτίνας R=0,5m ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο, με την κατακόρυφη διάμετρό της να απέχει απόσταση s=60,5m από λείο κατακόρυφο τοίχωμα. Από την χρονική στιγμή t=0 και μετά ασκούνται σε σημεία της κάθε φορά κατακόρυφης διαμέτρου που ισαπέχουν κατά x από το κέντρο, δύο οριζόντιες σταθερές δυνάμεις F1 και F2 , οι οποίες έχουν ίσα μέτρα(F1=F2=F) και αντίθετες κατευθύνσεις, προκαλώντας συνολική ροπή ως προς το κέντρο Ο μέτρου .m.
α) Να υπολογιστούν το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας  και της γωνιακής επιτάχυνσης της σφαίρας.
β) Να βρεθεί το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας την χρονική στιγμή t=2s.
Την χρονική στιγμή t1=2s, η δύναμη F2 καταργείται και ταυτόχρονα εκτοξεύεται η σφαίρα με ταχύτητα uo,cm   ώστε αμέσως μετά να αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, υπό την επίδραση μόνον της F1.
γ) Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας uo,cm.
δ) Να υπολογιστεί η απόσταση των φορέων των δυνάμεων και το μέτρο των δυνάμεων αυτών.
Η δύναμη F1 ασκείται μέχρι και λίγο πριν η σφαίρα συγκρουστεί με το λείο τοίχωμα. Να βρεθούν:
ε) η χρονική στιγμή t2 της σύγκρουσης της σφαίρας με το τοίχωμα
στ) το έργο της F1 δύναμης από την χρονική στιγμή t=0 μέχρι την κατάργησή της.
ζ) τα μέτρα των ταχυτήτων του σημείου επαφής της σφαίρας με το δάπεδο και του ανώτερου σημείου της περιφέρειας της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Icm=(2/5)MR^2 

Δύο όμοιοι κύλινδροι κινούνται με την επίδραση δύναμης F…



Δύο όμοιοι κύλινδροι έχουν μάζες Μ1 = Μ2 = Μ και ακτίνες R1 = R2 = R και γύρω από τον καθένα τυλίγουμε πολλές φορές λεπτό νήμα, ώστε να μπορούμε να ασκούμε εφαπτομενική δύναμη και το νήμα να ξετυλίγεται χωρίς να γλιστράει.
Οι κύλινδροι ηρεμούν πάνω δύο διαφορετικά οριζόντια επίπεδα, ο 1ος σε τραχύ και ο 2ος λείο επίπεδο.

Στα άκρα των δύο νημάτων ασκούνται αντίστοιχα σταθερές οριζόντιες δυνάμεις μέτρων F1 = F2 = F όπως φαίνεται στο σχήμα ώστε να είναι τεντωμένα, ενώ οι κύλινδροι συγκρατούνται ακίνητοι.
Τη στιγμή t = 0 οι κύλινδροι αφήνονται ταυτόχρονα ελεύθεροι να κινηθούν.
Ο 1ος κύλινδρος τότε κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Τα κέντρα μάζας τους φτάνουν αντίστοιχα τις χρονικές στιγμές t1 και t2 σε απόσταση S από την αρχική τους θέση.
Σε κάθε μία από τις προτάσεις (Α), (Β), (Γ) και (Δ) να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να τη δικαιολογήσετε ...
 
 

Παρασκευή, 29 Μαρτίου 2013

Ελαστική κρούση δίσκου με ακίνητη ράβδο.


 Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται δίσκος με μάζα m = 1kg με ταχύτητα υ = 4 m/s.
Συγκρούεται ελαστικά με ράβδο στο άκρο της Α. Η ράβδος έχει μήκος ℓ = 2 m και μάζα Μ = 4 kg.
Μεταξύ ράβδου και δίσκου δεν αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής.
Να υπολογιστούν οι ταχύτητες του δίσκου και τις ράβδου μετά την κρούση και η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.


Πέμπτη, 28 Μαρτίου 2013

Συμπαγής κύλινδρος και κυλινδρικό κέλυφος.

Σε ένα κεκλιμένο επίπεδο αφήνονται δύο κύλινδροι Α και Β από το ίδιο υλικό και της ίδιας ακτίνας. Ο Α είναι συμπαγής,  ενώ από τον δεύτερο έχει αφαιρεθεί ένας ομοαξονικός κύλινδρος με ακτίνα r= ½ R. Οι δυο κύλινδροι κυλίονται χωρίς ολίσθηση και παρατηρούμε ότι μετά από λίγο οι κύλινδροι συγκρούονται. Οι αρχικές θέσεις των δύο κυλίνδρων είναι αυτή του σχήματος (α) ή του σχήματος (β);
Δίνεται η ροπή αδράνειας ενός ομογενούς κυλίνδρου Ι= ½ ΜR2.
ή

Συμπαγής κύλινδρος και κυλινδρικό κέλυφος.


Τετάρτη, 27 Μαρτίου 2013

4ο ΘΕΜΑ. Τροχός και ελατήριο.


Ομογενής κυκλικός τροχός T ακτίνας R και μάζας M=10Kg εφάπτεται σε οριζόντιο επίπεδο. Στην περιφέρεια του τροχού Τ είναι τυλιγμένο αβαρές μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους. O άξονας O του τροχού είναι συνδεδεμένoς μέσω οριζόντιας άκαμπτης αβαρούς ράβδου με το ελεύθερο άκρο ιδανικού οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς Κ=100N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο. Η διάταξη αρχικά ηρεμεί.
Α. Στο ελεύθερο άκρο του νήματος εφαρμόζουμε σταθερή κατακόρυφη δύναμη μέτρου F=10N όπως φαίνεται στο σχήμα. Το νήμα ξετυλίγεται κατακόρυφα χωρίς να γλιστρά ενώ τροχός Τ κυλίεται χωρίς ολίσθηση.
Α1. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του άξονα του τροχού Τ σε συνάρτηση με την επιμήκυνση του ελατηρίου.
Α2. Αν ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ τροχού και δαπέδου είναι μS=0,5 να υπολογίσετε τη μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου για την οποία ο τροχός Τ δεν ολισθαίνει.
Α3. Να υπολογίσετε το ποσοστό της ενέργειας που παρέχει η δύναμη F, το οποίο  μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια περιστροφής του τροχού Τ, αν το ελατήριο υποστεί επιμήκυνση Δx=0,1m.
Β. Να δείξετε ότι αν καταργηθεί η δύναμη F, ενώ το ελατήριο έχει υποστεί επιμήκυνση, ο άξονας του τροχού Τ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς.

Μεταξύ της ράβδου και του τροχού δεν εμφανίζονται τριβές. Θεωρήστε ότι η μάζα του τροχού είναι συγκεντρωμένη στην περιφέρειά του. Η διάταξη βρίσκεται διαρκώς στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Δίνεται g=10m/s2.

Πλαστική κρούση δύο ράβδων. Τι σημαίνει «συσσωμάτωμα» σε μια τέτοια κρούση;



Το έρεισμα για την ανάρτηση αυτή μου το έδωσαν οι δύο πολύ καλές πρόσφατες αναρτήσεις του … «Φυσικού / Μηχανικού» της παρέας Δημήτρη Αναγνώστου:
(ο οποίος μας δίνει ακούραστα άφθονη τροφή για προβληματισμό :-))

Ας θεωρήσουμε ένα μονωμένο μεταφορικά και στροφικά σύστημα, όπως π.χ. τις δύο ράβδους που κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο.
Αν συγκρουστούν, τότε αναπτύσσονται για μικρό χρόνο μεγάλες δυνάμεις από το ένα σώμα στο άλλο (κρουστικές δυνάμεις). Συνολικά στο σύστημα η ορμή και η στροφορμή διατηρούνται. Στο κάθε σώμα όμως συμβαίνουν μεταβολές.
Όταν μελετάμε τις κρούσεις στο 5ο κεφάλαιο, τα πράγματα είναι πιο απλά διότι αντιμετωπίζουμε τα σώματα σαν υλικά σημεία και δεν υπεισέρχεται η έννοια της στροφορμής. Έχουμε πάντα διατήρηση της ορμής και, ανάλογα με τη φύση των σωμάτων, διατήρηση ή μείωση της μηχανικής ενέργειας του συστήματος.
Στην περίπτωση μάλιστα που τα σώματα είναι τελείως ανελαστικά, δημιουργούν συσσωμάτωμα και κινούνται μετά την κρούση με κοινή ταχύτητα.
Τι εννοούμε όταν λέμε «συσσωμάτωμα» σε τέτοιες κρούσεις;

Τρίτη, 26 Μαρτίου 2013

Ένας κύλινδρος σε κεκλιμένο επίπεδο.



Γύρω από έναν ομογενή κύλινδρο μάζας Μ=2kg και ακτίνας R=0,1m έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Τοποθετούμε τον κύλινδρο σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου ημθ=0,8 και τη στιγμή t0=0 τον αφήνουμε να κινηθεί, ασκώντας σταθερή δύναμη μέτρου F=5Ν, στο άκρο Α του νήματος παράλληλη στο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Αν ο κύλινδρος παρουσιάζει με  το επίπεδο συντελεστές τριβής μ=μs=0,25, για τη στιγμή t1=1s.  Ζητούνται::
i)  Να διερευνήσετε προς τα που θα κινηθεί ο κύλινδρος, αν θα ολισθαίνει ή αν θα κυλίεται και τη φορά περιστροφής του.
ii)  Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου και η μετατόπιση του άξονά του.
iii) Η ταχύτητα του κέντρου μάζας και η γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου.
iv) η ισχύς κάθε δύναμης που ασκείται στον κύλινδρο.
v) Οι ρυθμοί μεταβολής:
 α) της στροφορμής του κυλίνδρου, ως προς τον άξονα περιστροφής του.
 β) της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου.
 γ) της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής του κυλίνδρου
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του Ιcm= ½ MR2 και g=10m/s2.
ή

Διπλό χάσιμο επαφής.


Τρία  σημειακά σώματα με μάζες m1=1Kg   m2=2Kg   και  m3=1kg   βρίσκονται σε επαφή έχοντας συσπειρώσει  κατά x1=0,2m  το οριζόντιο ελατήριο σταθερά Κ1=100N/m του σχήματος. Το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο.
Το  σώμα μάζας m1 είναι δεμένο στο ελατήριο και  την  χρονική στιγμή t=0  τo σύστημα αφήνεται ελεύθερο και όταν χαθεί η πρώτη επαφή των σωμάτων το σώμα μάζας m3 καρφώνεται χωρίς απώλεια ενέργειας σε ένα δεύτερο ελατήριο σταθεράς Κ2=300N/mH απόσταση των δύο φυσικών μήκων των δύο ελατηρίων είναι D=π/5 m  να βρεθούν:
Α) Ποια στιγμή τα σώματα θα συμβεί ο τελικός αποχωρισμός;
Β) Ποια τα τελικά πλάτη ταλάντωσης των  σωμάτων που ταλαντώνονται αν το σώμα μάζας m2 μετά τον αποχωρισμό του από το σώμα μάζα m3 απομακρυνθεί από το σύστημα;
Γ) Ποια θα μπορούσε να ήταν η μέγιστη και ποια η ελάχιστη απόσταση των δύο σωμάτων που ταλαντώνονται;

Δευτέρα, 25 Μαρτίου 2013

Ένας τροχός πάνω σε δυο μικρούς κυλίνδρους



Ένας τροχός μάζας M = 12 kg και ακτίνας  R = 0,64 m ,  ακουμπά πάνω σε δυο μικρούς κυλίνδρους Α και Β όπως φαίνεται στο σχήμα.   Οι μικροί κύλινδροι,   έχουν ίσες μάζες  mA = mB = m = M/4 ,  ακτίνες rΑ = rΒ = r = R/8  ,  και μπορούν να στρέφονται χωρίς τριβές γύρω από σταθερούς οριζόντιους άξονες που συμπίπτουν με τον άξονά τους. Οι άξονες των μικρών κυλίνδρων βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο.
Αβαρής τροχαλία T ακτίνας r1 = R/2 είναι στερεωμένη στη βάση του τροχού  όπως στο σχήμα , έχοντας πολλές φορές τυλιγμένο στην περιφέρειά της , αβαρές μη εκτατό νήμα που δεν γλιστρά κατά την περιστροφή.
Αρχικά το σύστημα ηρεμεί.
Ασκούμε στο ελεύθερο άκρο του νήματος  σταθερή οριζόντια δύναμη F μέτρου  F = 6,4π Ν , και ο τροχός αρχίζει να στρέφεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στους μικρούς κυλίνδρους.
Α. Να υπολογίσετε τις τιμές που θα έχουν τα παρακάτω μεγέθη στο τέλος της δεύτερης περιστροφής του τροχού.
i.    Η γωνιακή ταχύτητα ω1 του τροχού
ii.   Η γωνιακή ταχύτητα ω2 των μικρών κυλίνδρων
iii.  Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του κάθε μικρού κυλίνδρου.
Β.   Αν  αλείψουμε με λάδι τους κυλίνδρους ,  να υπολογιστεί η κινητική  ενέργεια του τροχού στο τέλος της δεύτερης περιστροφής του.
Η ροπές αδράνειας I1  του τροχού και του κάθε κυλίνδρου I2 , ως προς τον άξονα που στρέφονται είναι
I1 = ½MR² ,  Ι2 = ½mr² αντίστοιχα ,   και π²=10.

 

Ένα δεύτερο θέμα με δυο κυλίνδρους.

Διαθέτουμε δύο κυλίνδρους Α και Β ίσων ακτίνων, από το ίδιο υλικό, αλλά ο Β έχει διπλάσιο ύψος του Α. Αφήνουμε την ίδια στιγμή τους  δύο κυλίνδρους να κυλίσουν κατά μήκος του ίδιου επιπέδου από ύψος h. Οι κύλινδροι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν ενώ η ροπή αδράνειας ενός κυλίνδρου ως προς τον άξονα που συνδέει τα κέντρα των δύο βάσεων είναι Ιcm= ½ ΜR2.
i) Πρώτος θα φτάσει στη βάση του επιπέδου:
α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα φτάσουν ταυτόχρονα.
ii) Μεγαλύτερη ταχύτητα κέντρου μάζας θα αποκτήσει:
α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα αποκτήσουν ίσες ταχύτητες cm.
iii) Μεγαλύτερη κινητική ενέργεια θα αποκτήσει:
α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα αποκτήσουν ίσες κινητικές ενέργειες.
iv) Σε μια στιγμή στη διάρκεια της καθόδου, μεγαλύτερη στροφορμή, ως προς τον άξονά του έχει:
α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) θα έχουν ίσες στροφορμές.
v) Σε μια στιγμή στη διάρκεια της καθόδου, μεγαλύτερο ρυθμό μεταβολής της στροφορμής, ως προς τον άξονά του έχει:
α) ο κύλινδρος Α                  β) ο κύλινδρος Β      γ) οι δυο ρυθμοί είναι ίσοι.
ή