Πέμπτη, 31 Ιανουαρίου 2013

Ταχύτητες και επιταχύνσεις σε ένα βαρούλκο.

Στο παραπάνω σχήμα βλέπετε ένα βαρούλκο, με την βοήθεια του οποίο ανεβάζουμε ένα βαρύ σώμα Σ. Δίνονται η ακτίνα του τυμπάνου γύρω από το οποίο τυλίγεται το σχοινί r=10cm, ενώ η ακτίνα του σημείου Α είναι ίση με R=50cm. Σε μια στιγμή το σώμα Σ ανέρχεται με επιτάχυνση α=0,2m/s2 έχοντας ταχύτητα υ=0,4m/s
i) Να βρεθεί η ταχύτητα του σημείου Α.
ii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας (η επιτρόχιος επιτάχυνση) του σημείου Α;
iii) Να υπολογιστεί η κεντρομόλος επιτάχυνση του Α.
ή

Τετάρτη, 30 Ιανουαρίου 2013

Ένα φορτηγό επιταχύνεται

Ένα φορτηγό κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα υ0=6m/s. Σε μια στιγμή, που θεωρούμε ότι t=0, το φορτηγό επιταχύνεται και η γωνιακή επιτάχυνση ενός τροχού του, ακτίνας R=0,4m, δίνεται στο διπλανό διάγραμμα. Σε όλη τη διάρκεια της κίνησης οι τροχοί κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν.
i) Να βρεθεί η μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας του τροχού από 0-2s.
ii) Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγμή t1=5s και πόση τη στιγμή t2=10s;
iii) Ποια είναι τελικά η ταχύτητα του φορτηγού;

Τρίτη, 29 Ιανουαρίου 2013

Δυναμόμετρο σε τροχαλία

Η τροχαλία με μάζα m ακτίνα r και ροπή αδράνειας I=mr2/2

του διπλανού σχήματος, περιστρέφεται δεξιόστροφα με τη βοήθεια ενός κινητήρα. Η ένδειξη του δυναμόμετρου είναι F=6mg/5  Το σχοινί και το δυναμόμετρο έχουν αμελητέα μάζα. Επίσης, το σχοινί δεν ολισθαίνει πάνω στην τροχαλία και είναι μη εκτατό. Υπολογίστε τη ροπή που δέχεται η τροχαλία από τον κινητήρα ως συνάρτηση  των m,g,r.


Δευτέρα, 28 Ιανουαρίου 2013

Ο ρόλος του μοχλοβραχίονα στη ροπή



Γνωρίζουμε ότι το μέτρο της ροπής μιας δύναμης είναι τ = Fr όπου r το μήκος του μοχλοβραχίονα (της απόστασης δηλαδή, κλπ.).
Στο παράδειγμα της αβαρούς ράβδου που ισορροπεί (βλέπε πιο πάνω σχήμα), έχουμε:

ΣF = 0      N = FΑ + FΒ    (1)   και    Στ(Ο) = 0      FΑL1 = FΒL2   (2)
Στο μεγαλύτερο μοχλοβραχίονα χρειάζεται δηλαδή να ασκούμε μικρότερη δύναμη για την αποκατάσταση της ισορροπίας.
Είναι δυνατόν να δοθεί κάποια ερμηνεία σ’ αυτό;

 Η συνέχεια ΕΔΩ


Κυριακή, 27 Ιανουαρίου 2013

Διάθλαση και πορεία ακτίνας.

Διαθέτουμε ένα δοχείο σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με ύψος h=60cm. Με μια μικρή συσκευή Laser στοχεύουμε όπως στο πρώτο σχήμα, ώστε η ακτίνα μόλις να περνά από την δεξιά πλευρά και να φτάνει στην απέναντι γωνία, όπως στο αριστερό  σχήμα, όπου έχουμε σχεδιάσει μια τομή που δείχνει την πορεία της ακτίνας. Χωρίς να μετακινήσουμε τη συσκευή γεμίζουμε το δοχείο με νερό, οπότε η ακτίνα φτάνει σε σημείο Κ της βάσης, όπου (ΑΚ)=35cm, ενώ (ΑΒ)=80cm.
i)  Να υπολογιστεί ο δείκτης διάθλασης του νερού.
ii) Αν από μια μικρή οπή στη βάση του δοχείου, αφήσουμε να χυθεί η μισή ποσότητα του νερού, να υπολογιστεί σε πόση απόσταση από το Α, η ακτίνα θα συναντήσει τη βάση του δοχείου.
ή

Ανατροπή στερεού γύρω από άρθρωση



Ανατροπή στερεού γύρω από άρθρωση
(δύο παραλλαγές στο ίδιο θέμα)


__

 ΑΣΚΗΣΗ  1

Λεπτή ράβδος Ρ μήκους L και μάζας Μ συνδέεται στα δύο άκρα της μέσω λείων αρθρώσεων με αβαρείς ράβδους ίδιου μήκους. Οι αρθρώσεις επιτρέπουν την ελεύθερη κίνηση των τριών ράβδων  στο ίδιο επίπεδο.
Οι αβαρείς ράβδοι συνδέονται στα άλλα τους άκρα μέσω όμοιας άρθρωσης σε σταθερό οριζόντιο άξονα Ο και έτσι δημιουργείται ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο που μπορεί να στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο περί τον άξονα Ο.
Συγκρατούμε αρχικά το σύστημα με την ράβδο L στην επάνω οριζόντια θέση και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο να ανατραπεί. Τη στιγμή που η ράβδος Ρ γίνεται κατακόρυφη, ζητούνται:
...

ΣΥΝΕΧΕΙΑ




Σάββατο, 26 Ιανουαρίου 2013

Επιτάχυνση σε τροχό που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει



Τροχός ακτίνας R=0,5m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντια επιφάνεια με επιτάχυνση κέντρου μάζας αcm ενώ την χρονική στιγμή η ταχύτητα του είναι ucm=2m/s. Δίνεται ότι:
 αA2Γ2=4m2/s4, όπου αΑ και αΓ τα μέτρα ολικής επιτάχυνσης των σημείων επαφής Γ του τροχού με την επιφάνεια και A του ανώτερου σημείου της περιφέρειας του τροχού.
α) Να βρεθεί το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας.
β) Να βρεθεί το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του τροχού.
γ) Να βρεθεί το μέτρο της ολικής επιτάχυνσης του σημείου Δ της περιφέρειας του τροχού που απέχει από την επιφάνεια απόσταση d=R.

Παρασκευή, 25 Ιανουαρίου 2013

Διάθλαση και ολική ανάκλαση σε ημισφαίριο.


Σε οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ένα γυάλινο ημισφαίριο κέντρου Ο, όπως στο αριστερό σχήμα. Από μια φωτεινή πηγή εκπέμπεται μια μονοχρωματική ακτίνα με κατεύθυνση προς το κέντρο Ο του ημισφαιρίου, η διεύθυνση της οποίας σχηματίζει γωνία θ=30ο με την οριζόντια διεύθυνση. Δίνεται ότι ο δείκτης  διάθλασης του γυαλιού αυτού, για την συγκεκριμένη ακτίνα, είναι ίσος με n1 =1,5.
i)   Αφού σχεδιάστε την πορεία της ακτίνας, μέχρι και την έξοδό της από το ημισφαίριο, να υπολογίστε τη γωνιακή εκτροπή της ακτίνας (τη γωνία που σχηματίζει η αρχική διεύθυνση της ακτίνας με την τελική διεύθυνση διάδοσής της).
ii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα τόσο το ημισφαίριο, όσο και η φωτεινή πηγή, είναι τοποθετημένα σε δοχείο, το οποίο έχουμε γεμίσει με υγρό, δείκτη διάθλασης n2=1,4. Να βρεθεί ξανά η γωνιακή εκτροπή της ακτίνας, μέχρι την έξοδό της από το γυαλί.
iii) Αντικαθιστούμε το παραπάνω υγρό με άλλο, το οποίο έχει δείκτη διάθλασης n3=1,5. Να βρεθεί τώρα η εκτροπή της ακτίνας, μέχρι την έξοδό της από το γυαλί.
Δίνονται ημ60°0,86 και ημ68°0,93.
ή

Τετάρτη, 23 Ιανουαρίου 2013

Μια ακτίνα σε τριγωνικό πρίσμα.

Μια μονοχρωματική ακτίνα προσπίπτει στο μέσον Μ της πλευράς ΑΒ ενός ορθογώνιου τριγωνικού πρίσματος με γωνία Γ=φ=30ο, σχηματίζοντας γωνία φ=30° με την πλευρά, όπως στο σχήμα και φτάνει στο μέσον Ο της πλευράς ΑΓ.
i) Ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος για την παραπάνω ακτίνα έχει τιμή:
α)  0,8                  β) 1              γ) √2            δ) 1,5           ε) √3
ii) Η ακτίνα στο σημείο Ο θα:
α) υποστεί μόνο ανάκλαση
β) ανακλαστεί και θα διαθλαστεί.
γ) υποστεί μόνο διάθλαση
ή

Δευτέρα, 21 Ιανουαρίου 2013

Η εκτροπή ακτίνας από τριγωνικό πρίσμα.

Μια μονοχρωματική ακτίνα προσπίπτει στο μέσον Μ της πλευράς ΑΒ ενός ορθογώνιου τριγωνικού πρίσματος, με υποτείνουσα (ΒΓ)=8cm, με γωνία Γ=θ=30ο, σχηματίζοντας γωνία θ=30° με την πλευρά, όπως στο σχήμα. Αν ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος είναι n=√3 για την ακτινοβολία αυτή, να βρεθούν:
i)  τα σημεία εξόδου της ακτίνας από το πρίσμα
ii) Τη γωνιακή εκτροπή της ακτίνας κατά το πέρασμά της από το πρίσμα (η γωνία μεταξύ αρχικής και τελικής διεύθυνσης διάδοσης της ακτίνας).

Μια σφαίρα και μια σανίδα.


Mία λεπτότατη και άκαμπτη  ράβδος  ΑΓ  μάζας Μ=2Κg και μήκους L=1,12m  μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο οριζόντιο  άξονα O που απέχει από το έδαφος ύψος Η=L/8 ενώ η απόσταση του άξονα Ο  από το σημείο Α είναι  ΑΟ=L/4. Μία σφαίρα μάζας m=4Kg  και ακτίνας R=0,28 m τοποθετείτε στο άκρο Α έτσι ώστε το άκρο Α να βρίσκεται στο έδαφος και η ράβδος  να παίζει το ρόλο κεκλιμένου επιπέδου. Δίδουμε στη σφαίρα κατάλληλη αρχική ταχύτητα μέτρου υcmA=3m/s έτσι ώστε η σφαίρα να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ανερχόμενη στην ράβδο.
Nα βρεθούν:
A)Tο μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας την στιγμή που χάνεται η επαφή του σημείου Α με το έδαφος.
Β) Oι περιστροφές που έχει εκτελέσει η σφαίρα μέχρι να χάσει την επαφή της με τη ράβδο αν αυτό συμβεί τη χρονική στιγμή που η ράβδος βρίσκεται σε οριζόντια θέση . Yποθέστε ότι σε όλη την διάρκεια της κίνησης της σφαίρας πάνω στην ράβδο ότι η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
Γ) Πόση είναι η ολική  κινητική ενέργεια του συστήματος σφαίρας-ράβδου τη στιγμή που χάνουν την επαφή τους.
Δίνεται για τη σφαίρα Ιcm=0,4MR2 και g=10m/s2.

Παρασκευή, 18 Ιανουαρίου 2013

ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΜΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΚΗ ΠΗΓΗ


 

Α. Στην επιφάνεια υγρού που ηρεμεί εκτελούμε ένα πείραμα όπου υπάρχουν δύο όμοιες σημειακές πηγές παραγωγής κυμάτων Π1 και Π2, όπου η Π2 είναι δεξιότερα της Π1, που εκτελούν εξαναγκασμένες ταλαντώσεις και απέχουν απόσταση d=1m μεταξύ τους. Οι πηγές ταλαντώνονται με εξισώσεις y1=0,1ημ(8πt) (SI) και y2=0,1ημ(8πt) (SI). Τα παραγόμενα κύματα διαδίδονται με ταχύτητα υ=0,4 m/s.

Ένα σημείο Κ απέχει από την Π1 απόσταση r1=1,5 m και από την Π2 απόσταση r2=2 m.

Α1. Να βρεθεί η εξίσωση της ταλάντωσης του Κ σε συνάρτηση με το χρόνο από τη στιγμή που ξεκίνησαν να ταλαντώνονται οι πηγές και μετά.

Α2. Να βρεθεί το πλήθος των υπερβολών απόσβεσης μεταξύ του σημείου Κ και της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π2.

Β. Πραγματοποιούμε ξανά το παραπάνω πείραμα, όμως λόγω κάποιου εσωτερικού προβλήματος η πηγή Π1 σταματά την ταλάντωσή της τη χρονική στιγμή t1=0,25 s και ξεκινά και πάλι την ταλάντωσή της (αφού έχει διορθωθεί το πρόβλημα) την t2=0,375 s και πάλι με θετική φορά από τη θέση ισορροπίας της.

Σημείο Μ βρίσκεται στο μέσο του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π2.

Β1. Να γραφεί η εξίσωση ταλάντωσης του Μ με το χρόνο από την t=0 έως την t4=2,5 s και να γίνει η γραφική της παράσταση.
Β2. Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης ενός σημείου Κ που βρίσκεται πάνω στην ευθεία που ενώνει τις δύο πηγές και αριστερά της Π1 και απέχει απόσταση xκ=1 m από την Π1 σε συνάρτηση με το χρόνο και να γίνει η γραφική του παράσταση σε βαθμολογημένους άξονες από την t=0 έως την t5=3 s.
 Απάντηση

Τετάρτη, 16 Ιανουαρίου 2013

Κάτοπτρο και διαφανές υλικό διαδοχικά σε δοχείο με υγρό


Σε δοχείο τοποθετούμε το επίπεδο κάτοπτρο ΑΒ ώστε να σχηματίζει γωνία φ με τον πυθμένα του δοχείου, γεμίζουμε το δοχείο με υγρό και μια μονοχρωματική κατακόρυφη δέσμη φωτός εισέρχεται από τον αέρα στο υγρό. Η δέσμη αυτή αφού ανακλαστεί στο κάτοπτρο εξέρχεται από το υγρό σχηματίζοντας γωνία φ με την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Η ίδια δέσμη φωτός όταν περνά από το υγρό σε διαφανές υλικό διαθλάται όπως φαίνεται στο σχήμα 2. Αν ο δείκτης διάθλασης του υγρού για αυτή τη μονοχρωματική ακτινοβολία είναι n τότε ο δείκτης διάθλασης nΓ του διαφανούς υλικού θα είναι:


Από πού θα εξέλθουν οι ακτίνες;

Η τομή ενός πρίσματος είναι ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, όπου η γωνία Β είναι ίση με φ=60°. Στο σχήμα βλέπετε το ύψος ΑΜ και δυο μονοχρωματικές ερυθρές ακτίνες (α) και (β) που προσπίπτουν στα σημεία Κ και Λ, κάθετα στην υποτείνουσα ΒΓ. Αν ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος για τις ακτίνες αυτές είναι ίσος με n=1,25.
i)  Η ακτίνα (α) θα εξέλθει από το πρίσμα, από την πλευρά:
α) ΑΒ            β) ΑΓ             γ) ΒΓ
ii)  Η ακτίνα (β) θα εξέλθει από το πρίσμα, από την πλευρά:
α) ΑΒ            β) ΑΓ             γ) ΒΓ

Δευτέρα, 14 Ιανουαρίου 2013

Στάσιμα κύματα και ταχύτητες σημείων.

Κατά μήκος δυο γραμμικών ελαστικών μέσων διαδίδονται αντίθετα δύο όμοια κύματα, τα οποία συμβάλουν δημιουργώντας στάσιμα κύματα. Στα σχήματα αριστερά δίνονται οι μορφές των μέσων μια στιγμή που θεωρούμε t=0.

i) Στο (α) ελαστικό μέσον θα δημιουργηθεί  στάσιμο κύμα και στις θέσεις 0,5m,  1,5m,  2,5m, θα δημιουργηθούν δεσμοί.
ii)  Στο (β) ελαστικό μέσον στα σημεία χ=0,  1m,  2m θα δημιουργηθούν δεσμοί.
iii) Στα δεξιά σχήματα έχουμε σχεδιάσει την ταχύτητα ταλάντωσης δύο σημείων Μ και Ν των δύο ελαστικών μέσων τα οποία βρίσκονται στις θέσεις x=1m. Ποια καμπύλη αντιστοιχεί σε κάθε σημείο;
Να χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασμένες τις δύο πρώτες προτάσεις και να κάνετε την αντιστοίχιση για την iii) δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.