Ταλαντώσεις σε κάθετες διευθύνσεις

Το σώμα Σ₁ του διπλανού σχήματος είναι μια μικρή εντελώς λεία σφαίρα η οποία μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο. Έχει μάζα m₁ = 1kg και ισορροπεί  ακίνητη στη θέση Ο.  Οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται σε αυτήν είναι η δύναμη F η οποία είναι σταθερής διεύθυνσης και φοράς, με μέτρο F = 20N και η δύναμη Ν της οποίας ο φορέας είναι η ευθεία που διέρχεται από το σώμα Σ₁ και το σημείο Κ, η φορά της είναι πάντα προς το σημείο Κ και το μέτρο της δίνεται από τη σχέση Ν = 100·r (SI), όπου r η απόσταση του σώματος από το σημείο Κ.

  i)      Εκτρέπουμε το σώμα Σ₁ από τη θέση που ισορροπεί προς τα δεξιά (κατά τη θετική φορά του άξονα χ) κατά 0,1m και τη χρονική στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο.  Αφού αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα χ, να δώσετε τη συνάρτηση απομάκρυνσης – χρονικής στιγμής .

 ii)    Αντικαθιστούμε το σώμα Σ₁ με σώμα Σ₂  το οποίο επίσης είναι μια μικρή εντελώς λεία σφαίρα η οποία μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο και έχει μάζα m₂ = 9 kg.  Το Σ₂ δέχεται τις ίδιες δυνάμεις με το Σ₁ και ισορροπεί στη θέση Ο.  Εκτρέπουμε το σώμα Σ₂ από τη θέση που ισορροπεί προς τη θετική φορά του άξονα ψ κατά 0,3m και τη χρονική στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο.  Αφού αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα ψ, να δώσετε τη συνάρτηση απομάκρυνσης – χρονικής στιγμής .

 iii )      Τοποθετούμε το σώμα Σ₁ στη θέση x = +0,1m  και το σώμα Σ₂  στη θέση y= +0,3m και τη χρονική στιγμή t₀ = 0 τα αφήνουμε ελεύθερα να κινηθούν.  Να βρείτε ποια χρονική στιγμή θα συγκρουστούν. 

 iv)    Η κρούση των δύο σωμάτων είναι ελαστική αμελητέας χρονικής διάρκειας.  Θεωρούμε ότι οι εσωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα στη διάρκεια της κρούσης έχουν φορέα τον άξονα χ. Να βρείτε το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του Σ₂ κατά την κρούση. 

 v)  Να δώσετε τη γραφική παράσταση  για το σώμα Σ₁ από τη στιγμή που αφέθηκε ελεύθερο μέχρι τη στιγμή που συμπληρώνεται μια πλήρης ταλάντωση μετά την κρούση.

     Απάντηση