Κυριακή, 15 Οκτωβρίου 2017

Μια άσκηση εξαναγκασμένης ταλάντωσης


Στην εξαναγκασμένη ταλάντωση του σχήματος η γωνιακή
συχνότητα του διεγέρτη είναι 5 rad/s.
Μετά την πάροδο των μεταβατικών φαινομένων
αποκαθίσταται ταλάντωση πλάτους 0,2 m.
Η ταλάντωση έχει φάση μικρότερη αυτής του διεγέρτη κατά π/4.
1. Να υπολογίσετε την δύναμη του διεγέρτη και την απόσβεση.
2. Ποια πρέπει να είναι η συχνότητα του διεγέρτη ώστε η φάση της ταλάντωσης να είναι μικρότερη αυτής του διεγέρτη κατά 2π/3 ;

Συνέχεια:

Παρασκευή, 13 Οκτωβρίου 2017

Ταλαντώσεις σε κάθετες διευθύνσεις



Το σώμα Σ1 του διπλανού σχήματος είναι μια μικρή εντελώς λεία σφαίρα η οποία μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο. Έχει μάζα m1 = 1kg και ισορροπεί  ακίνητη στη θέση Ο.  Οι μόνες δυνάμεις που ασκούνται σε αυτήν είναι η δύναμη F η οποία είναι σταθερής διεύθυνσης και φοράς, με μέτρο F = 20N και η δύναμη Ν της οποίας ο φορέας είναι η ευθεία που διέρχεται από το σώμα Σ1 και το σημείο Κ, η φορά της είναι πάντα προς το σημείο Κ και το μέτρο της δίνεται από τη σχέση Ν = 100·r (SI), όπου r η απόσταση του σώματος από το σημείο Κ.
  i)      Εκτρέπουμε το σώμα Σ1 από τη θέση που ισορροπεί προς τα δεξιά (κατά τη θετική φορά του άξονα χ) κατά 0,1m και τη χρονική στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο.  Αφού αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα χ, να δώσετε τη συνάρτηση απομάκρυνσης – χρονικής στιγμής .
 ii)    Αντικαθιστούμε το σώμα Σ1 με σώμα Σ2  το οποίο επίσης είναι μια μικρή εντελώς λεία σφαίρα η οποία μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο και έχει μάζα m2 = 9 kg.  Το Σ2 δέχεται τις ίδιες δυνάμεις με το Σ1 και ισορροπεί στη θέση Ο.  Εκτρέπουμε το σώμα Σ2 από τη θέση που ισορροπεί προς τη θετική φορά του άξονα ψ κατά 0,3m και τη χρονική στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο.  Αφού αποδείξετε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα ψ, να δώσετε τη συνάρτηση απομάκρυνσης – χρονικής στιγμής .
 iii )      Τοποθετούμε το σώμα Σ1 στη θέση x = +0,1m  και το σώμα Σ2  στη θέση y= +0,3m και τη χρονική στιγμή t0 = 0 τα αφήνουμε ελεύθερα να κινηθούν.  Να βρείτε ποια χρονική στιγμή θα συγκρουστούν. 
 iv)    Η κρούση των δύο σωμάτων είναι ελαστική αμελητέας χρονικής διάρκειας.  Θεωρούμε ότι οι εσωτερικές δυνάμεις που ασκούνται στα σώματα στη διάρκεια της κρούσης έχουν φορέα τον άξονα χ. Να βρείτε το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του Σ2 κατά την κρούση. 
 v)  Να δώσετε τη γραφική παράσταση  για το σώμα Σ1 από τη στιγμή που αφέθηκε ελεύθερο μέχρι τη στιγμή που συμπληρώνεται μια πλήρης ταλάντωση μετά την κρούση.



Η στατική τριβή κατά την περιστροφή

Ο οριζόντιος δίσκος του σχήματος, μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο και ηρεμεί. Τοποθετούμε πάνω του ένα σώμα Σ, μάζας m=2kg, το οποίο θεωρείται υλικό σημείο, σε απόσταση R=2m από το κέντρο του. Σε μια στιγμή ο δίσκος τίθεται σε περιστροφή και στο σχήμα δίνεται το γράφημα της γωνιακής του ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο, ενώ το σώμα Σ κινείται κυκλικά χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο δίσκο.
i)  Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου, καθώς και η επιτρόχια επιτάχυνση του σώματος Σ τη χρονική στιγμή t1=1s.
ii) Να βρεθεί η τριβή (μέτρο και κατεύθυνση) η οποία ασκείται στο σώμα Σ τη στιγμή t0=0+ (αμέσως μόλις αρχίσει η περιστροφή).
iii) Ποια η αντίστοιχη απάντηση για την ασκούμενη τριβή τη χρονική στιγμή t2=5s;
iv) Σε μια επανάληψη του πειράματος, ο δίσκος τίθεται ξανά σε περιστροφή με την ίδια γωνιακή επιτάχυνση, χωρίς αυτή να μηδενίζεται τη στιγμή t=4s, οπότε παρατηρούμε ότι το σώμα Σ αρχίζει να ολισθαίνει τη χρονική στιγμή t3=4,2s. Να υπολογιστεί ο συντελεστής οριακής στατικής τριβής μεταξύ του σώματος και του δίσκου.
Στον σχεδιασμό της δύναμης τριβής, σε κάθε περίπτωση, να μην αναζητηθεί η ακριβής θέση του σώματος και η γωνία κατά την οποία έχει περιστραφεί ο δίσκος.
Δίνεται g=10m/s2.
ή


Πέμπτη, 12 Οκτωβρίου 2017

Ενέργεια ταλάντωσης vs Μηχανικής Ενέργειας


Μια πλάκα Β εκτελεί κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση στο πάνω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m με πλάτος Α1=0,2m.
i)  Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης.
ii) Πόση είναι η μηχανική ενέργεια του συστήματος πλάκα-ελατήριο; Θεωρείστε το οριζόντιο επίπεδο που περνά από τη θέση ισορροπίας, ως επίπεδο μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας.
iii) Τη στιγμή που η πλάκα φτάνει στην κάτω ακραία θέση της, τοποθετείται πάνω της (χωρίς ταχύτητα) ένα σώμα Γ μάζας 2kg. Να βρεθεί η ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος πλάκα-σώμα Γ.

ή

Τετραγωνισμένη ταλάντωση.

Σώμα μάζας m = 2 kg, είναι δεμένο στο άκρο οριζοντίου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε ακλόνητο τοίχο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το σώμα βρίσκεται αρχικά ακίνητο στην αρχή των αξόνων (x = 0) και την χρονική στιγμή t0 = 0 ασκούμε οριζόντια σταθερή δύναμη F έτσι ώστε να παραμορφώνει το ελατήριο. Η κίνηση του σώματος, περιγράφεται από τη σχέση x = 0,4ημ2(5t) (S.I.).
α. να βρείτε αν αρχικά η δύναμη F συσπειρώνει ή συμπιέζει το ελατήριο
β. να γράψετε την εξίσωση της κινητικής ενέργειας της ταλάντωσης
γ. να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F
δ. να υπολογίσετε την δύναμη επαναφοράς όταν το σώμα βρίσκεται στην θέση x1 = 0,3 m.
ε. αν είναι γνωστό ότι η δύναμη F καταργείται μία χρονική στιγμή t1 όπου το σώμα επιβραδυνόταν και νέα ταλάντωση που αρχίζει έχει πλάτος Α′ = 0,2√3 m να βρείτε την κινητική ενέργεια τη στιγμή t1.
Δίνεται η τριγωνομετρική ταυτότητα συν2x = 1 – 2ημ2x.
   

Τρίτη, 10 Οκτωβρίου 2017

Ταλάντωση και ανελαστική κρούση


Μια μικρή σφαίρα ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός ιδανικού ελατηρίου, το πάνω άκρο του οποίου έχει στερεωθεί στο ταβάνι ενός δωματίου. Στην θέση ηρεμίας η σφαίρα απέχει κατά d, από το δάπεδο του δωματίου. Μετακινούμε κατακόρυφα προς τα πάνω την σφαίρα, μέχρι να έρθει σε ύψος h=3d, από το δάπεδο και σε μια στιγμή t=0, την αφήνουμε να εκτελέσει  αατ.
i)   Η σφαίρα θα συγκρουσθεί με το δάπεδο τη χρονική στιγμή:
α) t1=2T/5,    β) t1=T/3,      γ) t1=3T/5.
ii)  Αν κατά την κρούση της σφαίρας με το δάπεδο, η κινητική της ενέργεια μειώνεται κατά 20%, τότε η νέα ταλάντωση (μετά την κρούση), θα έχει μικρότερη ενέργεια ταλάντωσης, σε σχέση με την αρχική, κατά:
α) 10%,   β) 15%,   γ) 20%,   δ) 25%.
Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

ή

Δευτέρα, 9 Οκτωβρίου 2017

Η εκδίκηση του στρεφόμενου διανύσματος

Ένα σώμα μάζας m=2kg εκτελεί αρμονική ταλάντωση της οποίας η εξίσωση προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων x1=20√2·ημ(10t+π/4)S.I., x2=35·ημ(10t+π/2)S.I., x3=15√3·ημ(10t)S.I., x4=60·ημ(10t+7π/6)S.I. και x5=20·ημ(10t+π) S.I.

i) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος την χρονική στιγμή t=π/20s είναι:

Κυριακή, 8 Οκτωβρίου 2017

Πόσο είναι το συνολικό διάστημα που θα διανύσει το Σ2 ;

Στο σχήμα απεικονίζεται ένα σύστημα δύο σωμάτων Σ1 και Σ2 μαζών m1=1kg , m2=4kg αντίστοιχα που συνδέονται με ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100N/m που βρίσκεται στο φυσικό του μήκος lo=1m. Η περιοχή που βρίσκεται το Σ1 είναι λεία ενώ η περιοχή που βρίσκεται το Σ2 είναι τραχιά με συντελεστή οριακής τριβής ίσο με το συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,8. Δίνονται: επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2


Παρασκευή, 6 Οκτωβρίου 2017

Αποκρύπτοντας το στρεφόμενο διάνυσμα

Ένα σώμα μάζας m =20g εκτελεί  κίνηση που προέρχεται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών
ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, ίδιας συχνότητας και γύρω από το ίδιο σημείο. Οι εξισώσεις των επιμέρους ταλαντώσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
i) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης από την Θ.Ι. σε συνάρτηση με τον χρόνο για τις δύο επιμέρους ταλαντώσεις.
ii) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης από την Θ.Ι. για την σύνθετη κίνηση.

Τετάρτη, 4 Οκτωβρίου 2017

Μετά από δυο ελαστικές κρούσεις!


Δυο μικρές σφαίρες Α και Β με ίσες (μικρές) ακτίνες ηρεμούν όπως στο σχήμα (αριστερά στο σχήμα), στα κάτω άκρα δύο όμοιων ιδανικών ελατηρίων, τα πάνω άκρα των οποίων έχουν στερεωθεί στο ταβάνι ενός δωματίου. Μετακινούμε κατακόρυφα προς τα πάνω τις δυο σφαίρες, μέχρι να φτάσουν σε ύψος h, από το δάπεδο και σε μια στιγμή t=0, τις αφήνουμε ταυτόχρονα να κινηθούν, εκτελώντας αατ.
i)  Ποια  σφαίρα έχει μεγαλύτερη ενέργεια ταλάντωσης;
ii) Ποια σφαίρα θα έχει μεγαλύτερη περίοδο ταλάντωσης;
iii) Αν οι σφαίρες συγκρούονται ελαστικά με το δάπεδο, ποια σφαίρα θα έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια,  αμέσως μετά την κρούση;
ή


Δευτέρα, 2 Οκτωβρίου 2017

Για να μην χάσουμε τα συμπεράσματα.

Η τομή ενός ομογενούς στερεού s είναι ορθογώνιο ΑΒΓΔ με πλευρές (ΑΒ)=2α και (ΑΔ)=3α. Αφήνουμε το στερεό σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8. Να εξετάσετε αν το στερεό θα ανατραπεί, όταν για το συντελεστή τριβής μεταξύ του στερεού s και του επιπέδου, ισχύει:

Κυριακή, 1 Οκτωβρίου 2017

Από πλάτη ... σκαλοπάτια.

Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε το οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k με το σώμα Σ1 μάζας m1 να είναι δεμένο στο δεξιό του άκρο, ενώ το άλλο άκρο (του ελατηρίου) είναι δεμένο σε ακλόνητο τοίχο. Δεξιά του Σ1 βρίσκεται σε επαφή το σώμα Σ2 μάζας m2. Το ελατήριο αρχικά είναι συμπιεσμένο και συγκρατείται ακίνητο με την βοήθεια μιας δύναμης F0. Την χρονική στιγμή t0 = 0, αφήνουμε το σύστημα να εκτελέσει ταλάντωση. Κάποια στιγμή το Σ2 αποχωρίζεται από το Σ1 και στην συνέχεια συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με τον δεξιό τοίχο. Στην επιστροφή του το Σ2 συναντά το Σ1 με το οποίο συγκρούεται πλαστικά. Στο κάτω σχήμα φαίνονται τα πλάτη των ταλαντώσεων που πραγματοποιούνται. Να βρεθούν:
α. ο λόγος των μαζών m1/m2
β. η ταχύτητα του Σ1 ακριβώς πριν την πλαστική κρούση με το Σ2
γ. η απόσταση των σωμάτων την χρονική στιγμή t0 = 0 με τον δεξιό τοίχο
δ. το πλάτος Α3 του συσσωματώματος.
Δίνεται π = 3,14. Το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο και τα σώματα Σ1 και Σ2 τα θεωρούμε σημειακά αντικείμενα.

Τετάρτη, 27 Σεπτεμβρίου 2017

Ένα διάγραμμα κινητικής και δυναμικής ενέργειας σε συνάρτηση με το χρόνο

Στο παρακάτω διάγραμμα παριστάνεται η δυναμική και η κινητική ενέργεια σε συνάρτηση με το
χρόνο ενός σώματος που εκτελεί ΑΑΤ. Η δυναμική ενέργεια παριστάνεται με συνεχή γραμμή και η κινητική ενέργεια από τη διακεκομμένη γραμμή. Αν η μάζα του σώματος είναι m=1kg και γνωρίζετε ότι την t=0 η αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης είναι αρνητική να υπολογίσετε:

Τρίτη, 26 Σεπτεμβρίου 2017

Μέγιστη ενέργεια ταλάντωσης

Το σώμα Σ μάζας m=1kg εκτελεί ΑΑΤ σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, με πλάτος Α=0,5m.
i) Μεταξύ ποιων τιμών κυμαίνεται η ταχύτητα του σώματος Σ;
Ένα δεύτερο σώμα Σ1 μάζας Μ=4kg κινείται κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου, όπως στο σχήμα με ταχύτητα μέτρου υ2=2m/s. Τα δυο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά σε μια θέση, με αποτέλεσμα το σώμα Σ να εκτελέσει μια νέα ταλάντωση με μέγιστο πλάτος.
ii)  Να υπολογιστεί η ενέργεια ταλάντωσης του Σ μετά την κρούση.
iii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του Σ ελάχιστα πριν και αμέσως μετά την κρούση.
iv) Να βρεθεί η επιτάχυνση του σώματος Σ αμέσως μετά την κρούση.
ή


Δευτέρα, 25 Σεπτεμβρίου 2017

Ολισθαίνει ή ανατρέπεται;

Πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο αφήνεται ένας κύβος πλευράς α.
Έστω ότι m=1kg, θ=60°, όπου εφθ=1,73 και μ=μs=1,2.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κύβου ως προς οριζόντιο άξονα που ταυτίζεται με μια ακμή του κύβου Ι= 2mα2/3 και g=10m/s2.
Τι θα κάνει ο κύβος;
ή
Ολισθαίνει ή ανατρέπεται;