Δευτέρα, 31 Αυγούστου 2015

Μια μόνιμη ροή και οι πιέσεις.

Στο διπλανό σχήμα έχουμε μια μόνιμη και στρωτή ροή νερού (το οποίο θεωρούμε ιδανικό ρευστό) εντός ενός οριζόντιου σωλήνα σταθερής διατομής Α=40cm2. Η παροχή του σωλήνα είναι ίση με 8L/s. Στη θέση Α έχει συνδεθεί ο κατακόρυφος λεπτός σωλήνας, στον οποίο το νερό ανέρχεται κατά h1=2m.
i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του νερού στα σημεία Α και Β, καθώς και οι αντίστοιχες πιέσεις.
Παρεμβάλλουμε έναν δεύτερο σωλήνα στη θέση Β, όπως στο διπλανό σχήμα. Αν η ροή εξακολουθεί να είναι στρωτή και μόνιμη, με την ίδια παροχή:
ii) Πόση θα είναι η ταχύτητα του νερού στο σημείο Β και ποια η τιμή της πίεσης στο Β;
iii) Σε πόσο ύψος θα ανέβει το νερό στον δεύτερο σωλήνα;
Δίνεται η πυκνότητα του νερού ρ=1.000Ν/m2 και g=10m/s2.
ή



Παρασκευή, 28 Αυγούστου 2015

Όταν στην τροχαλία υπάρχουν τριβές



Η παρακάτω άσκηση είναι παραλλαγή του παραδείγματος 2-4 του συγγράμματος “Fluid mechanics” των Cengel Cambala.
Η τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δύο ομοαξονικές κυλινδρικές επιφάνειες ακτίνων R1=9,8cm, R2=10cmh=2cm και αμελητέας μάζας. Μεταξύ των δύο επιφανειών υπάρχει λιπαντικό με συντελεστή ιξώδους η. Η εσωτερική επιφάνεια είναι ακίνητη και η εξωτερική είναι ελεύθερη να κινηθεί.
Στην εξωτερική επιφάνεια είναι τυλιγμένο μη εκτατό νήμα αμελητέας μάζας. Στην άκρη του νήματος είναι στερεωμένο σώμα μάζας m=2,5Κg. Αν αφήσουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί, διαπιστώνουμε ότι στην αρχή η κίνησή του είναι επιταχυνόμενη και στην συνέχεια κινείται με σταθερή ταχύτητα vo=5m/s .
Να υπολογιστεί ο συντελεστής ιξώδους. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.
Η λύση σε word και σε pdf

Η παροχή και η συνέχεια σε ένα σωλήνα.

Στο παρακάτω σχήμα εμφανίζεται ένα τμήμα ενός οριζόντιου σωλήνα, εντός του οποίου έχουμε μια στρωτή ροή ενός ιδανικού ρευστού, σταθερής παροχής.
 
i) Για τις ταχύτητες ροής στα σημεία Α, Β και Γ ισχύει:
α) υΑΒΓ,   β)  υΑ> υΒ> υΓ,   γ) υΑ< υΒ= υΓ.
ii) Ένα σωμάτιο  ρευστού κατά την κίνησή του από το σημείο Β στο σημείο Γ επιταχύνεται ή όχι;
iii) Για να μπορεί να υπάρχει η ροή αυτή, θα πρέπει pΑ=pΓ.
iv) Αν για τις δυο διατομές Α1 και Α2 του σχήματος ισχύει ότι Α1=20Α2 και η ταχύτητα ροής στο σημείο Β είναι υΒ=2m/s, να βρεθεί η ταχύτητα του υγρού στο σημείο Α.
v) Ένα σωμάτιο ρευστού στη θέση Ο επιταχύνεται ή όχι; Αν ναι πού οφείλεται η επιτάχυνσή του;
Να δικαιολογήσετε όλες τις απαντήσεις σας.

Πέμπτη, 27 Αυγούστου 2015

Ταλαντώσεις με άσκηση παροδικής δύναμης.

Ένα σώμα μάζας m=1kg ηρεμεί στο κάτω άκρο ενός κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m2. Σε μια στιγμή, έστω t=0, δέχεται την επίδραση μιας σταθερής κατακόρυφης δύναμης μέτρου F=20Ν, μέχρι τη στιγμή t1=1,75s, όπου η δύναμη παύει να ασκείται.
i)  Να αποδείξετε ότι  στο παραπάνω χρονικό διάστημα 0-t­1, το σώμα εκτελεί ΑΑΤ, υπολογίζοντας το πλάτος και την ενέργεια ταλάντωσης.
ii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t1.
iii) Να υπολογίσετε το έργο της ασκούμενης δύναμης F.
iv) Να βρεθεί το πλάτος και η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος, μετά την κατάργηση της δύναμης F.
Δίνεται g=10m/s2 και π2≈10.
ή






Δευτέρα, 24 Αυγούστου 2015

Τρεις παροχές από έναν σωλήνα.

Το παρακάτω σχήμα, δείχνει ένα τμήμα ενός οριζόντιου συστήματος ύδρευσης που καταλήγει σε τρεις σωλήνες, από τους οποίους το νερό εκρέει με την ίδια ταχύτητα υ=0,4m/s. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή μόνιμη και στρωτή, σε όλο το μήκος της σωληνώσεως.
Ο σωλήνας 1 έχει διατομή Α1=2cm2. Από τον σωλήνα 2 εξέρχονται 2L νερού σε 100s, ενώ  η παροχή του σωλήνα 3, είναι ίση με το άθροισμα των παροχών των  δύο άλλων σωλήνων.
i) Να βρεθούν οι παροχές των τριών σωλήνων.
ii) Να υπολογιστούν τα εμβαδά διατομής των δύο άλλων σωλήνων.
iii) Να βρεθεί η πίεση του νερού στα σημεία Γ και Β, αν η εγκάρσια διατομή του σωλήνα στο σημείο Β είναι 10cm2.
iv) Για τις τιμές της πίεσης στα σημεία Α και Β ισχύει:
α) pA< pΒ,    β) pA= pΒ,   γ) pA> pΒ.
Να δικαιολογήστε την απάντησή σας.
Δίνεται η  ατμοσφαιρική πίεση pατ=1αtm=105Ν/m2 και η πυκνότητα του νερού ρ=1.000kg/m3.
ή





Σάββατο, 22 Αυγούστου 2015

Με ανοικτή και κλειστή την στρόφιγγα.

Μια  μεγάλη δεξαμενή είναι γεμάτη νερό μέχρι ύψους h=5m, ενώ ένα σωλήνας, που συνδέεται στον πυθμένα, έχει διατομή Α=1cm2 και κλείνεται με στρόφιγγα στο άκρο Α, όπως στο σχήμα. Το νερό με πυκνότητα ρ=1.000kg/m3, θεωρείται ιδανικό ρευστό και η ροή στρωτή και μόνιμη με τη στρόφιγγα ανοικτή, ενώ στο σχήμα έχει χαραχθεί μια ρευματική γραμμή ΔΓΑ. Δίνεται επίσης g=10m/s2.
i)  Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος, με την στρόφιγγα ανοικτή:
α) Η πίεση στο σημείο Δ της επιφάνειας είναι ίση με την πίεση στο Α.
β) Μια μικρή μάζα νερού, έχει μεγαλύτερη κινητική ενέργεια, την στιγμή που βγαίνει από το άκρο Α, παρά όταν βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια στο Δ.        
γ) Η πίεση στο σημείο Β είναι ίση με την πίεση στο Α. 
δ) Για τις τιμές της πίεσης στα σημεία Β και Γ ισχύει pΒ-pΓ=ρghΓΒ.
ii) Αν η διατομή της δεξαμενής είναι πολύ μεγάλη, ποια η ταχύτητα με την οποία βγαίνει το νερό από το άκρο Α;
iii) Κλείνουμε την στρόφιγγα. Η πίεση στο σημείο Α άλλαξε ή όχι;        
v) Αν πιέσουμε με την βοήθεια ενός εμβόλου την πάνω επιφάνεια  της δεξαμενής, θα αυξηθεί η ποσότητα του νερού που θα βγαίνει από την διατομή στο Α, με τη στρόφιγγα ανοικτή. Μπορείτε να εξηγείστε γιατί συμβαίνει αυτό;    
ή






Παρασκευή, 21 Αυγούστου 2015

170. Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις .




Μηχανικές

1) Η εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι μια αμείωτη ταλάντωση και το πλάτος της είναι ανεξάρτητο του χρόνου γιατί ο ρυθμός με τον οποίο το σύστημα απορροφά ενέργεια είναι ίσος με το ρυθμό με τον οποίο η ενέργεια μετατρέπεται σε θερμική, λόγω τριβών σε κάθε περίοδο.

2) Έστω ότι το σώμα του σχήματος πραγματοποιεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με x=Aημωt, υ=ωΑσυνωt και α=-ω2Αημωt=-ω2x,  με την επίδραση της εξωτερικής δύναμης Fεξ. Τότε σε μια τυχαία θέση +x για τη δύναμη επαναφοράς έχουμε Fεπ=-Dx=-Κx και για τη δύναμη απόσβεσης έχουμε Fαπ=-bυ. Επίσης από τη σχέση υ=ωΑσυνωt προκύπτει
υ22Α2(1-ημ2ωt)Þυ222-x2).
Στην τυχαία θέση (Τ.Θ), από τον 2ο Νόμο του Newton έχουμε:

Τετάρτη, 19 Αυγούστου 2015

169. Μη μετωπική ελαστική κρούση m1 και m2 .



169. Μη μετωπική ελαστική κρούση m1 και m2 .  


Μια σφαίρα μάζας m1=5Kg κινείται (ολισθαίνει) οριζόντια με ταχύτητα υ1=1m/s και συγκρούεται μη μετωπικά και ελαστικά με αρχικά ακίνητη σφαίρα μάζας m2=7Kg. Αν μετά την κρούση η σφαίρα m2  κινείται με ταχύτητα υ2΄ που σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία θ με εφθ=,  τότε να υπολογίσετε την ταχύτητα υ1΄ καθώς και την ταχύτητα υ2΄ της m2, μετά την κρούση. Τριβές δεν υπάρχουν.



Συνοπτική λύση:

Ρευματική γραμμή και φλέβα.

Στο σχήμα δίνεται ένα τμήμα οριζόντιου σωλήνα, εντός του οποίου ρέει ιδανικό υγρό, με σταθερή παροχή και κάποιες ρευματικές γραμμές του.
i) Η ροή αυτή είναι στρωτή ή τυρβώδης;
ii) Να σημειώστε στο σχήμα τη φλέβα του υγρού η οποία περικλείεται από τις δύο κόκκινες ρευματικές γραμμές του σχήματος, την οποία ας ονομάσουμε φλέβα Χ.
iii) Μια δεύτερη φλέβα Υ περιβάλλεται από τις μπλε ρευματικές γραμμές. Η παροχή είναι μεγαλύτερη στην φλέβα Χ ή στην Υ και γιατί;
iv) Κάποια στιγμή ένα σωμάτιο βρίσκεται στο σημείο Β. Να σχεδιάστε την ταχύτητα του σωματίου αυτού. Μπορεί μετά από λίγο το σωμάτιο αυτό να περάσει από το σημείο Γ;
v) Ένα σωμάτιο Σ1 σε μια στιγμή t0 περνάει από το σημείο Α, ενώ τη στιγμή t1, φτάνει στο σημείο Γ, ενώ στο σημείο Α βρίσκεται πια ένα δεύτερο σωμάτιο Σ2.
α) Το σωμάτιο Σ1 ή το Σ2 έχει μεγαλύτερη ταχύτητα στη θέση Α;
β) Τη στιγμή t1 ποιο από τα δύο σωμάτια έχει μεγαλύτερη ταχύτητα;
γ) Κατά την μετακίνηση του Σ1 από το Α στο Β ασκήθηκε πάνω του δύναμη ή όχι; Αν ναι, από πού μπορεί να ασκήθηκε η δύναμη αυτή; Το έργο της δύναμης αυτής είναι θετικό, αρνητικό ή μηδέν;
Να δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.

ή



Τρίτη, 18 Αυγούστου 2015

168. 2 πλάγιες κρούσεις 1 σφαίρας



                

Από ένα σημείο Ο που βρίσκεται σε τοίχο ύψος Η=0,8m από λείο οριζόντιο δάπεδο, εκτοξεύεται μια μικρή λεία, τελείως ελαστική σφαίρα μάζας m, με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ0=4m/s, όπως φαίνεται στο σχήμα.

α) Αν η κρούση της σφαίρας με το δάπεδο θεωρείται τελείως ελαστική, να βρείτε τη γωνία ανάκλασης της σφαίρας μετά τη πρόσπτωσή της στο δάπεδο.

β) Σε απόσταση d=2,4m από τον πρώτο τοίχο βρίσκεται και δεύτερος τοίχος. Αν η σφαίρα χτυπάει πλάγια και ελαστικά και στο δεύτερο κατακόρυφο τοίχο, να υπολογίσετε τη γωνία ανάκλασης της σφαίρας μετά τη δεύτερη κρούση.

Θεωρείστε ότι η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα και για τις πράξεις g=10m/s2.


Συνοπτικήλύση: