Παρασκευή, 30 Ιανουαρίου 2015

Τι θα κάνει ο κύλινδρος;


Γύρω από έναν κύλινδρο βάρους w και ακτίνας R, ο οποίος ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, σε επαφή με σκαλοπάτι ύψους h=R/2, έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα. Ασκούμε στο άκρο του οριζόντιου νήματος, οριζόντια δύναμη F, μέτρου w/2, όπως στο σχήμα. Αν δεν αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής στις επιφάνειες επαφής του κυλίνδρου με το οριζόντιο επίπεδο και το σκαλοπάτι:
i) Να σχεδιάστε τις δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο.
ii) Ο κύλινδρος:
 α) Ισορροπεί,
 β) Περιστρέφεται χωρίς να υπερπηδά το σκαλοπάτι.
 γ) Περιστρέφεται ενώ ταυτόχρονα υπερπηδά το σκαλοπάτι.

ή

Κυριακή, 25 Ιανουαρίου 2015

Η γωνιακή ταχύτητα και ο άξονας περιστροφής.

Μια δοκός μήκους 2m, κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε μια στιγμή βρίσκεται στη θέση του διπλανού σχήματος (κάτοψη). Στη θέση αυτή οι ταχύτητες των δύο άκρων Α και Β της δοκού, είναι κάθετες στη δοκό με μέτρα υΑ=0,8m/s, υΒ=1,8m/s.
i)  Η κίνηση της δοκού είναι:
 α) Μεταφορική,
 β) στροφική,
 γ) σύνθετη.
ii) Αν  η δοκός είναι ομογενής, τότε η γωνιακή ταχύτητα της δοκού έχει μέτρο:
α) ω=0,3rad/s,                 β) ω=0,5rad/s,                  γ) ω=0,7rad/s.
iii) Αν το κέντρο μάζας της δοκού είναι το σημείο Κ, όπου (ΚΜ)=0,2m, τότε αποδεχόμενοι ότι η δοκός περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνά από το Κ, η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της έχει μέτρο:
α) ω=0,3rad/s,                β) ω=0,5rad/s,                  γ) ω=0,7rad/s.
ή



Τετάρτη, 21 Ιανουαρίου 2015

Μια ράβδος πέφτει κατακόρυφα.

Μια ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους l=2m πέφτει κατακόρυφα με την επίδραση μόνο του βάρους. Σε μια στιγμή, η ράβδος είναι οριζόντια και το μέσον της Ο έχει κατακόρυφη ταχύτητα υ1=4m/s, ενώ το άκρο της Α, επίσης κατακόρυφη ταχύτητα υ2=8m/s, όπως στο διπλανό σχήμα.
i) Η κίνηση της ράβδου είναι:
α) μεταφορική,
β) στροφική,
γ) σύνθετη.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
ii) Να βρεθεί η ταχύτητα του άκρου Β στην θέση αυτή.
iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του άκρου Α, λαμβάνοντας υπόψη σας, ότι η δοκός δεν έχει γωνιακή επιτάχυνση.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.
ή



Δευτέρα, 19 Ιανουαρίου 2015

Η σύνθετη κίνηση ενός τροχού.

Σε ένα οριζόντιο επίπεδο κινείται ο τροχός του σχήματος ακτίνας R=0,5m. Αν το ανώτερο (Α) και το κατώτερο σημείο του τροχού (Β), έχουν ταχύτητες μέτρων υΑ=3m/s και υΒ=1m/s αντίστοιχα, να υπολογιστούν:
i)  Η ταχύτητα του κέντρου Κ του τροχού.
ii) Η ταχύτητα του σημείου Γ, στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας του.
iii) Η κεντρομόλος επιτάχυνση των σημείων Γ και Α, η οφειλόμενη στην περιστροφική κίνηση του τροχού γύρω από τον άξονά του.
ή
Η σύνθετη κίνηση ενός τροχού.


Παρασκευή, 16 Ιανουαρίου 2015

Βρείτε τα ίχνη…

Στο κέντρο ενός σκοτεινού δωματίου βρίσκεται μια μεγάλη γυάλινη σφαίρα. Φωτίζουμε με μια μονοχρωματική οριζόντια ακτίνα εφαπτομενικά τη σφαίρα, όπως στο σχήμα, όπου η ακτίνα πέφτει στο άκρο μιας οριζόντιας ακτίνας ΟΑ, κάθετα στην ακτίνα (στο σχήμα μια κάτοψη του δωματίου). Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού γι’ αυτή την ακτινοβολία είναι n=√2. Δεχόμαστε ότι η ακτίνα αυτή εν μέρει διαθλάται και εν μέρει ανακλάται.
Μπορείτε να βρείτε σε ποια σημεία των τοιχωμάτων του δωματίου μπορούμε να ανιχνεύσουμε φωτεινή κηλίδα;
ή
Βρείτε τα ίχνη…

Κυριακή, 11 Ιανουαρίου 2015

Μια ακτίνα πέφτει σε τριγωνικό πρίσμα.

Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός πέφτει κάθετα στη μια πλευρά πρίσματος, η τομή του οποίου είναι ισόπλευρο τρίγωνο, όπως στο σχήμα.
i)  Αν ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος για την παραπάνω ακτίνα είναι n=√3, να χαράξετε την πορεία της μέχρι και την έξοδό της από το πρίσμα.
ii) Ποιος πρέπει να είναι ο ελάχιστος δείκτης διάθλασης του γυαλιού, πάνω από την τιμή  του οποίου, η δέσμη να υποστεί ολική ανάκλαση στην πλευρά ΑΓ


Παρασκευή, 9 Ιανουαρίου 2015

Άλλο ένα στάσιμο κύμα σε χορδή.

Πάνω σε μια χορδή μήκους 10m έχει δημιουργηθεί ένα στάσιμο κύμα. Για να το μελετήσουμε μαθηματικά, παίρνουμε ένα σύστημα αξόνων x-y, όπου σε ένα σημείο Ο, που απέχει 3m από το αριστερό άκρο του  θέτουμε x=0, ενώ θεωρούμε t=0 τη στιγμή που το σημείο Ο βρίσκεται στην μέγιστη θετική απομάκρυνσή του. Το σημείο Ο φτάνει για πρώτη φορά στη μέγιστη αρνητική απομάκρυνσή του τη στιγμή t=0,5s, αφού διανύσει απόσταση 0,8m, ενώ απέχει οριζόντια απόσταση 1m από τον κοντινότερο δεσμό του στάσιμου. Δίνεται ακόμη ότι το σημείο Ο είναι κοιλία του στάσιμου κύματος.
i)     Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι της μορφής:
         α)   y= 2Α συν(2πx/λ)∙ημ(2πt/Τ+π/2)  
         β)   y= 2Α ημ(2πx/λ)∙ημ(2πt/Τ+π/2)  
         γ)   y= 2Α συν(2πx/λ+π/2)∙ημ(2πt/Τ+π/2)  
        Επιλέξτε τη σωστή μορφή δικαιολογώντας την επιλογή σας.
ii)    Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.
iii)   Να βρείτε τις θέσεις των δεσμών του στάσιμου κύματος.
iv)  Να σχεδιάστε στο ίδιο σύστημα αξόνων στιγμιότυπα του στάσιμου τις χρονικές στιγμές:
α) t1=0  και  β)  t2=0,75s
Σημειώστε πάνω στο διάγραμμα την ταχύτητα του σημείου Ο, τις παραπάνω χρονικές στιγμές.
v)   α)  Να βρεθεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Β στη θέση x1=4/3m.
β) Σε μια στιγμή η ταχύτητα του Β έχει τιμή υΒ=0,2π m/s. Να βρεθεί η αντίστοιχη ταχύτητα, την παραπάνω  χρονική στιγμή,  ενός σημείου Γ στη θέση xΓ=2m.

ή

Δευτέρα, 5 Ιανουαρίου 2015

Ένα στάσιμο κύμα, δύο εξισώσεις στάσιμου.

Μια χορδή μήκους 3m έχει στερεωμένα τα δυο άκρα της. Η χορδή τίθεται σε ταλάντωση και πάνω της δημιουργείται ένα στάσιμο κύμα, με μορφή όπως στο παραπάνω σχήμα, όπου το πλάτος ταλάντωσης της πρώτης κοιλίας Κ1 είναι 0,2m και η συχνότητά της 20Ηz.
i)   Να υπολογιστεί η ταχύτητα ενός τρέχοντος κύματος κατά μήκος της παραπάνω χορδής.
ii)  Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος, δεχόμενοι ότι η αρχή του άξονα, είναι η θέση ισορροπίας  της κοιλίας Κ1, ενώ τη στιγμή t=0 το σημείο Κ1 περνά από τη θέση ισορροπίας της κινούμενη προς τα πάνω (θετική κατεύθυνση).
iii) Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου, δεχόμενοι ως αρχή του άξονα x, το αριστερό άκρο της χορδής και την ίδια, όπως παραπάνω, στιγμή t=0.
iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης ενός σημείου Σ το οποίο απέχει 1,25 m από το αριστερό άκρο της χορδής. Η απάντηση να δοθεί με την βοήθεια και των δύο παραπάνω εξισώσεων στάσιμου που βρήκατε.

ή


Κυριακή, 4 Ιανουαρίου 2015

Στάσιμο σε … κίνηση.


Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδονται δύο κύματα με αντίθετες φορές, χωρίς απώλειες ενέργειας, οπότε και στο μέσο αυτό δημιουργείται στάσιμο κύμα. Μελετάμε μία περιοχή του χώρου, όπου στην θέση x = 0 θεωρούμε κάποια κοιλία του μέσου που ταλαντώνεται χωρίς αρχική φάση. Στα διπλανά σχήματα βλέπουμε δύο στιγμιότυπα του κύματος για την περιοχή που μελετάμε, τις χρονικές στιγμές t1 όπου όλα τα σημεία του στάσιμου κύματος είναι ακίνητα και μία χρονική στιγμή t2 = t1 + 0,6 s, όπου όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας y = 0. Για τις δύο χρονικές στιγμές ισχύει Δt = t2t1 < Τ, όπου Τ η περίοδος της ταλάντωσης των διαφόρων σημείων.
α. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος
β. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος για τις θέσεις xO = 0, έως xΡ = 0,9 m την χρονική στιγμή t3 = 1,25 s.
γ. Να υπολογίσετε την διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Κ και Λ που βρίσκονται στις θέσεις xK = 0,18 m και xΛ = 0,58 m, αντίστοιχα καθώς και την διαφορά ΔΑ = ΑΚ – ΑΛ, όπου ΑΚ το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Κ και ΑΛ το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Λ.
δ. Κάποια στιγμή το σημείο Δ (xΔ = 0,4 m) έχει ταχύτητα ταλάντωσης υΔ = 6π mm/s, ποια η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Ζ (xZ = 0,55 m) την ίδια χρονική στιγμή;
ε. Ποια η ελάχιστη αύξηση στην συχνότητα του κύματος ώστε το σημείο Ρ να ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος;

Παρασκευή, 2 Ιανουαρίου 2015

Ταλάντωση και σπάσιμο νήματος

Το σώμα Σ1 μάζας m1 =1kg του σχήματος είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς k=100N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο.  Κρατάμε το σώμα Σ2 ,μάζας m2 =1kg έτσι ώστε το νήμα να είναι τεντωμένο με μηδενική τάση, και το  ελατήριο να είναι στη θέση φυσικού μήκους.  Το σώμα Σ1 είναι δεμένο με νήμα μη εκτατό  και  όριο θραύσης Fθ  =13Ν.  Το νήμα έχει  τυλιχτεί αρκετές φορές γύρω από την τροχαλία ώστε να μην ολισθαίνει . Η τροχαλία έχει μάζα  m3 =1kg  και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές.   Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι  Ιcm= ½ m3R2. Τη χρονική στιγμή to=0  αφήνουμε το σύστημα να κινηθεί . Κάποια στιγμή t1 το  νήμα σπάει .
1. Δείξτε ότι τα σώματα Σ1 και Σ2 θα κάνουν απλή αρμονική ταλάντωση (α.α.τ.) μέχρι να σπάσει το νήμα και υπολογίστε το πλάτος και την περίοδό τους.
2. Ποιά η χρονική στιγμή t1  που σπάει το νήμα και ποιο τμήμα του;
3. Πόση είναι η τάση του νήματος που απομένει  λίγο πριν και αμέσως μετά το σπάσιμο.
4. Σε ποια επιμήκυνση του ελατηρίου θα μηδενισθεί η ταχύτητα του Σ1 για 1η φορά;

5. Ποια η μέγιστη ταχύτητα του Σ1 στην κίνησή του;  Δίνεται g=10m/s2.

Μια σύνθετη άσκηση ταλάντωσης κυλιομένου κυλίνδρου.

Δείξατε ότι ο κύλινδρος του σχήματος εκτελεί αρμονική ταλάντωση.

Υπολογίσατε το πλάτος και την περίοδο. Ουδέν σώμα του προβλήματος ολισθαίνει επί ουδενός.