Παρασκευή, 18 Ιουλίου 2014

Τα θετικά και τα αρνητικά.

Μια  Καλοκαιρινή βόλτα ακολουθώντας ένα μονοπάτι…
Με 13 σκαλοπάτια!
Ας μιλήσουμε σήμερα για θετικά και αρνητικά μεγέθη, χωρίς να ασχοληθούμε με διανυσματικά φυσικά μεγέθη. Εκεί το πρόσημο είναι αυθαίρετο, αφού καθορίζεται από εμάς μια κατεύθυνση ως θετική, στην προσπάθειά μας να μιλήσουμε με αλγεβρικές τιμές και όχι με τα μέτρα των διανυσμάτων.
Τι ακριβώς σημαίνει ότι ο Α έχει +5€, ενώ ο Β έχει -10€, για να ξεκινήσουμε από ένα παράδειγμα δανεισμένο από την οικονομία;
Θα μπορούσαμε με τον τρόπο αυτό να αποδώσουμε την κατάσταση εκείνη, όπου ο Α έχει 5€, ενώ ο Β όχι απλά δεν έχει χρήματα, αλλά χρωστάει και 10€ ή αν προτιμάτε χρειάζεται και 10€ να πάρει, ώστε να μπορέσει να ξεχρεωθεί.
Το πιο απλό παράδειγμα από το χώρο της επιστήμης που θα μπορούσαμε να αναφέρουμε, είναι το να απαντήσουμε σε πόσο ύψος βρίσκεται ένα σώμα, σε σχέση με την επιφάνεια του τραπεζιού του σχήματος.
Θα μπορούσε η απάντηση να ήταν, ότι η Α σφαίρα βρίσκεται σε μηδενικό ύψος, η Β σφαίρα βρίσκεται 40cm πάνω από το τραπέζι και η Γ 50cm κάτω από την επιφάνεια του τραπεζιού. Αλλά θα μπορούσαμε απλά και να πούμε ότι hΑ=0, hΒ=+40cm και hΓ=-50cm, όπου h το ύψος από την επιφάνεια  του τραπεζιού. Στην περίπτωση αυτή βέβαια το αρνητικό ύψος της σφαίρας Γ, σημαίνει ότι βρίσκεται χαμηλότερα της επιφάνειας και θα πρέπει να το ανεβάσουμε κατά 50cm ώστε να έρθει στην επιφάνεια.
(Στο παράδειγμα αυτό, σε ένα άλλο επίπεδο διαπραγμάτευσης, θα μπορούσαμε να πάρουμε έναν κατακόρυφο άξονα y, όπου το σημείο της επιφάνειας θα αντιστοιχούσε στην αρχή Ο του άξονα και να μιλούσαμε για τη θέση της σφαίρας yΒ=+40cm και yΓ=-50cm, αλλά ας μείνουμε απλά στο ύψος h…).
Έτσι αν μιλάμε για τη δυναμική ενέργεια σώματος m=2kg, θεωρώντας ότι η Α σφαίρα στην επιφάνεια του τραπεζιού έχει μηδενική δυναμική ενέργεια, θα είναι:
UΒ=mghΒ=+8J  και UΓ=mghΓ= -10J.
Όπου η θετική τιμή της στη θέση Β, σημαίνει ότι έχει μεγαλύτερη δυναμική ενέργεια από όση θα είχε πάνω στο τραπέζι ενώ η αρνητική τιμή στη θέση Γ, σημαίνει ότι έχει μικρότερη δυναμική ενέργεια, από όση θα είχε στην επιφάνεια του τραπεζιού.
Ισοδύναμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι UΓ=-10J σημαίνει ότι απαιτείται να προσφέρουμε στο σώμα ενέργεια 10J για να το μεταφέρουμε στην επιφάνεια του τραπεζιού.
Η συνέχεια σε pdf.


Κυριακή, 13 Ιουλίου 2014

Μπαλόνι με φθίνουσα επιτάχυνση

Ένα μπαλόνι ξεκινά από σημείο Α του εδάφους να ανεβαίνει κατακόρυφα κατά τέτοιον τρόπο ώστε η επιτάχυνση του με μεγάλη ακρίβεια να είναι μια γραμμική φθίνουσα συνάρτηση με το ύψος του πάνω από το επίπεδο του εδάφους. Τη στιγμή που μπαλόνι ξεκινά η ταχύτητα του είναι μηδέν και η επιτάχυνση του αo=4m/s2. Σε σημείο Ο που απέχει από το έδαφος H=16m και βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το Α η επιτάχυνση του μπαλονιού έχει γίνει μηδέν. Να υπολογίσετε:

Σάββατο, 12 Ιουλίου 2014

Ολίσθηση- κύλιση με και χωρίς ολίσθηση

Ο τροχός του σχήματος έχει ακτίνα R=0,2m και αφήνεται τη χρονική στιγμή t=0 με αρχική γωνιακή ταχύτητα ωο=300 rad/sec σε επαφή με τα δύο κάθετα τοιχώματα, όπως στο σχήμα. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης του τροχού και στα δύο τοιχώματα είναι μ=0,5.
Για συνέχεια εδώ

Έργο εξωτερικής δύναμης – Ενέργεια Ταλάντωσης

Δύο ασκήσεις:
1) Το σώμα m=2Kg του σχήματος είναι ακίνητο στην Θ.Φ.Μ. ελατηρίου σταθεράς k=200N/m, ξαφνικά δέχεται σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=4,5N για Δx=0,02m που στη συνέχεια μηδενίζεται.
α) Να υπολογίσετε  την ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα μέσου του έργου της δύναμης F.
β) Να υπολογίσετε την ενέργεια ταλάντωσης, 

Πλαστική κρούση σε οριζόντιο ελατήριο


Τα σώματα (Α) και (Β) του σχήματος που έχουν μάζες mA=m και mB=m βρίσκονται ακίνητα πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο του σχήματος και απέχουν απόσταση d. Τo σώμα (Β) είναι δεμένο με το ελατήριο του σχήματος το οποίο βρίσκεται στη Θ.Φ.Μ. του. Τη χρονική στιγμή t=0 εκτοξεύουμε το σώμα (Α) με ταχύτητα μέτρου v1=30/π m/s ενώ στο σώμα (Β) του δίνουμε ταχύτητα μέτρου v2=40m/s και στη συνέχεια εκτελεί ταλάντωση. Τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά σε ένα σημείο Λ (αριστερά της Θ.Φ.Μ.) τη χρονική στιγμή t1 = 2π/15s, έχοντας αντίθετες ταχύτητες. Το σώμα Β στη θέση Λ έχει ταχύτητα μέτρου υ′2 και ισχύει η σχέση U = 3K, όπου U η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης του και Κ η κινητική του ενέργεια. Να βρεθούν:

Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης-Δυναμική ενέργεια ελατηρίου-Δυναμική.....


k
m
Το σώμα του σχήματος έχει μάζα m=1Kg και ισορροπεί ακίνητο στο κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k=100N/m. Απομακρύνουμε το σώμα προς τα πάνω μέχρι το ελατήριο να φτάσει στη Θ.Φ.Μ.  και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο. Να υπολογιστούν: η ελαστική δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης, η βαρυτική δυναμική ενέργεια, η ενέργεια ταλάντωσης και η μηχανική ενέργεια του συστήματος :
α) στην ανώτερη θέση ταλάντωσης
k
m
Το σώμα του σχήματος έχει μάζα m=1Kg και ισορροπεί ακίνητο στο κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k=100N/m. Απομακρύνουμε το σώμα προς τα πάνω μέχρι το ελατήριο να φτάσει στη Θ.Φ.Μ.  και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο. Να υπολογιστούν: η ελαστική δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης, η βαρυτική δυναμική ενέργεια, η ενέργεια ταλάντωσης και η μηχανική ενέργεια του συστήματος :
α) στην ανώτερη θέση ταλάντωσης
Το σώμα του σχήματος έχει μάζα m=1Kg και ισορροπεί ακίνητο στο κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k=100N/m. Απομακρύνουμε το σώμα προς τα πάνω μέχρι το ελατήριο να φτάσει στη Θ.Φ.Μ.  και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο. Να υπολογιστούν: η ελαστική δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης, η βαρυτική δυναμική ενέργεια, η ενέργεια ταλάντωσης και η μηχανική ενέργεια του συστήματος :
α) στην ανώτερη θέση ταλάντωσης
Για συνέχεια εδώ

Ταχύτητα κύματος- Ταχύτητα ταλάντωσης σημείου.

Σημειακή πηγή βρίσκεται στη θέση x=0 ενός ελαστικού μέσου και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=Aημωt (S.I.), αν η εξίσωση του κύματος που δημιουργείται είναι y=0,4 ημ2π( t/2-x/4) S.I, να υπολογίσετε:

Στιγμιότυπο απλού αρμονικού - στάσιμου κύματος

Από το παραπάνω στιγμιότυπο να υπολογίσετε:

1. Το πλάτος του απλού αρμονικού κύματος καθώς και το πλάτος των κοιλιών, αν πρόκειται:

α) Για στιγμιότυπο του ενός από τα δύο κύματα που δημιουργούν το στάσιμο κύμα.


β) Για  στιγμιότυπο στάσιμου κύματος με όλα τα σημεία σε ακραία θέση.

Εσωτερική -Εξωτερική ακτίνα

Τα σώματα του σχήματος m­1 και m2­ έχουν μάζα m1=m2=m . Το σώμα m1 βρίσκεται πάνω σε ένα οριζόντιο κυκλικό τραπέζι  το οποίο μπορεί να περιστρέφεται με τη βοήθεια ενός μηχανισμού. Οι δύο οριζόντιες πλευρές του m1 έχουν την ιδιαιτερότητα η μια να είναι λεία και η άλλη τραχιά. Τοποθετούμε τη λεία επιφάνεια πάνω στο τραπέζι  και βάζουμε το μηχανισμό περιστροφής του τραπεζιού σε λειτουργία, έτσι ώστε αυτό να στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω=5rad/sec. Παράλληλα με την έναρξη περιστροφής του τραπεζιού, δίνουμε και κατάλληλη ώθηση στο σώμα ώστε να αρχίσει και αυτό να περιστρέφεται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Το  σώμα m2 είναι δεμένο με το m1 με ένα σχοινί το οποίο περνάει από μια μικρή οπή στο κέντρο του τραπεζιού, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Παράλληλες ακτίνες

Οι γωνίες της βάσης ισοσκελούς τριγωνικού πρίσματος είναι 30ο η κάθε μία. Οι δύο παράλληλες φωτεινές ακτίνες Α και Β  κινούνται στον αέρα και πέφτουν κάθετα στη βάση του πρίσματος. Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηματίζουν οι ακτίνες Α και Β όταν εξέρχονται από το πρίσμα.

Δίνεται ότι ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος για τις συγκεκριμένες ακτινοβολίες είναι n= και nαέρα=1.

Ανατροπή αντί ολίσθηση

Ο κύλινδρος του σχήματος ισορροπεί ακίνητος πάνω στην τραχιά επιφάνεια κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ. Το ύψος του κυλίνδρου είναι h ενώ η κυκλική του βάση έχει ακτίνα r.
Για συνέχεια εδώ

Κύλινδρος- Πεζοδρόμιο - Δύναμη F

Κύλινδρος μάζας m και ακτίνας R βρίσκεται ακίνητος πάνω σε οριζόντιο επίπεδο μπροστά από ένα πεζοδρόμιο ύψους R/2 (βλέπε σχήμα). Ένα παιδί που βρίσκεται πάνω στο πεζοδρόμιο τραβάει σιγά-σιγά με τη βοήθεια ενός οριζόντιου σχοινιού που δεμένο στην περιφέρεια του, τον κύλινδρο, ασκώντας σε αυτόν οριζόντια δύναμη F
Για συνέχεια εδώ.

Ράβδος- Τοίχος- Κεκλιμένο Επίπεδο.

Το άκρο Β ράβδου ΑΒ, βάρους w ακουμπά πάνω σε λείο κατακόρυφο τοίχο με τον οποίο σχηματίζει γωνία φ. Το κάτω της άκρο Α ακουμπά πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο, το οποίο σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία θ.  α) Να βρεθεί η ποια σχέση πρέπει να συνδέει τις γωνίες φ και θ έτσι ώστε η ράβδος να ισορροπεί με την βοήθεια αυτών των επιπέδων. β) Αν θ=30ο να εκφράσετε τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από τον τοίχο και το κεκλιμένο επίπεδο σε συνάρτηση με το w της ράβδου
Για συνέχεια εδώ.

Ημισφαιρικό Ποτήρι - Πλαστικό Καλαμάκι

Ένα πλαστικό καλαμάκι μήκους L τοποθετείται σε ένα λείο ημισφαιρικό ποτήρι ακτίνας R το οποίο ισορροπεί πάνω σε ένα οριζόντιο τραπέζι.
Να βρεθεί σε ποια θέση το καλαμάκι θα ισορροπεί, χωρίς να πέφτει από το ποτήρι.
α) Αν το μήκος (L) είναι μικρότερο από 2R.

β) Αν το μήκος (L) είναι μεγαλύτερο από 2R.

Κόκκινες - Κίτρινες Πιτσίλες



Ένας δίσκος ακτίνας R έχει δύο χρωματιστές πιτσιλιές μια κόκκινη και μία κίτρινη οι οποίες βρίσκονται στην ίδια διάμετρο.  Η κόκκινη βρίσκεται στην περιφέρεια του τροχού, ενώ η κίτρινη απέχει από την κόκκινη απόσταση r=3R/2. Ο δίσκος κυλίεται ομαλά χωρίς να ολισθαίνει με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=π/30 rad/sec, ενώ το κέντρο μάζας του έχει σταθερή ταχύτητα υcm.  Αν υποθέσουμε ότι τη χρονική στιγμή (t=0) η διάμετρος που βρίσκονται αυτοί οι  δύο χρωματισμοί είναι κατακόρυφη, με την κόκκινη να βρίσκεται στο ανώτερο σημείο. 

Τροχός- Μεταλλικό Έλασμα

Ένας τροχός μάζας m και ακτίνας R που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο δέχεται μια δύναμη πάνω στον άξονα του με αποτέλεσμα να κινείται με σταθερή ταχύτητα υο. Μέσω ενός νήματος μήκους L=2R που είναι δεμένο στον άξονα του, τράβα ένα μεταλλικό έλασμα μάζα Μ=2m το οποίο ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο

Για συνέχεια εδώ

Ροπή Αδράνειας



Δυο όμοιες ομογενείς ράβδοι ΟΑ και ΟΒ μήκους L και μάζας M συγκολλούνται στο σημείο Ο κατά τέτοιο τρόπο ώστε να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Μπάλα Μπιλιάρδου

Μια μπάλα του μπιλιάρδου έχει μάζα m και ακτίνα r. Ένας παίχτης μπιλιάρδου την κτυπάει οριζόντια με τη στέκα του σε ύψος h πάνω από το τραπέζι. Να βρεθεί το h, έτσι ώστε μετά το κτύπημα της από τη στέκα, η μπάλα να κινηθεί χωρίς να ολισθήσει πάνω στην τσόχα. Θεωρήστε ότι η στέκα παραμένει ακίνητη μετά το κτύπημα της με την μπάλα και δίνεται για την μπάλα ότι Icm=mr2/2.

sweet spot

Sweet Spot: Είναι το σημείο του ροπάλου του Baseball , όπου αν χτυπήσει εκεί η μπάλα αποκτά την μεγαλύτερη ταχύτητα και την ίδια στιγμή δεν μεταφέρει κανέναν κραδασμό στα χέρια του παίχτη, κάνοντας το χτύπημα αποδοτικό και “γλυκό”
Για συνέχεια εδώ

Βλήμα-Ράβδος-Ελατήριο

Η κατακόρυφη ράβδος ΑΓ μήκους L=0,4m και μάζας Μ=6Kg του σχήματος μπορεί να περιστραφεί χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από σημείο Ο, ο οποίος απέχει από το άκρο της Γ απόσταση  L/4. Βλήμα μάζας m=2/3Kg πέφτει με ταχύτητα υο=10m/s πάνω στην αρχικά ακίνητη ράβδο και σφηνώνεται στο άκρο της Α, όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Συνέχεια