Παρασκευή, 31 Ιανουαρίου 2014

Κρούση δύο ημιδίσκων.

Έχουμε δύο δίσκους μάζας Μ1=8/3 Κg και Μ2= 4/3Kg  ίδιας ακτίνας R=1m o καθένας. Κόβουμε τους δίσκους στη μέση ακριβώς και καρφώνουμε τους δύο μισούς  δίσκους από το ένα τους άκρο Ο ώστε οι δύο «ημιδίσκοι» να μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το Ο.  Ανεβάζουμε τον  καθένα «ημιδίσκο» έτσι ώστε η «διαμέτρός»  του  να είναι στην ίδια ευθεία και οριζόντιος  όπως  φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
          Κάποια στιγμή αφήνουμε ταυτόχρονα τους δύο δίσκους.
Α) Να αποδειχθεί ότι η κρούση των δύο «ημιδίσκων»  θα γίνει  όταν θα έχουν διαγράψει γωνία 90ο ο καθένας.
Β) Αν η κρούση των δύο δίσκων είναι ελαστική να βρεθεί η γωνιακή τους ταχύτητα αμέσως μετά την κρούση. Θα επιστρέψει κάποιος  «ημιδίσκος» στην αρχική του θέση;
Γ) Αν η κρούση των  «ημιδίσκων» ήταν τέλεια πλαστική ποια η απώλεια ενέργειας του συστήματος.
Ιcmολοκληρουδίσκου=0,5ΜR2.
To κέντρο μάζας  του μισού δίσκου βρίσκεται σε απόσταση L=4R/3π.


Η ακτίνα του κυλίνδρου

Στο διπλανό σχήμα η ράβδος ισορροπεί οριζόντια με την βοήθεια σώματος Σ ίσης μάζας με αυτή. Τα δύο σώματα συνδέονται με αβαρές νήμα τυλιγμένο πάνω από κύλινδρο που έχει τον ακλόνητό άξονα του στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με την άρθρωση στο σημείο Ο.
Η απόσταση του άκρου της ράβδου από το κέντρο του κυλίνδρου είναι ίση με d. Η ακτίνα του κυλίνδρου είναι:
α. 0,7d,                        β. 0,5d                         γ. 0,4d
Επιλέξτε και αιτιολογήστε την σωστή απάντηση.
 

Πέμπτη, 30 Ιανουαρίου 2014

Κύλιση και ολίσθηση πάνω σε σανίδα που ολισθαίνει


Ένας συμπαγής κύλινδρος  μάζας m = 10 kg και ακτίνας R = 0,2m είναι τοποθετημένος και ηρεμεί πάνω σε μια σανίδα μάζας Μ = 5 kg  μεγάλου μήκους , η οποία  βρίσκεται πάνω σ’ ένα οριζόντιο και λείο επίπεδο όπως δείχνει το σχήμα.
Στην περιφέρεια  του κυλίνδρου υπάρχει ένα μικρό αυλάκι μέσα στο οποίο έχει τυλιχτεί ένα νήμα αμελητέας μάζας μη εκτατό.
Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κυλίνδρου και της σανίδας είναι μ = 0,1.
Τη χρονική στιγμή  t = 0 ασκούμε στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού,  οριζόντια σταθερή δύναμη μέτρου F = 100N κατά την εφαπτομένη στο ανώτερο σημείο του κυλίνδρου.
H ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του είναι Ι = 0,5mR2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s².
Α. Να εξετάσετε αν ο κύλινδρος ολισθαίνει ή όχι πάνω στην σανίδα.
Β. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου, την επιτάχυνση της σανίδας και την γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου.
Γ. Κάποια χρονική στιγμή t1 θα έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους  L = 2m.
Να υπολογίσετε τις τιμές  που θα έχουν τότε η  κινητική ενέργεια του κυλίνδρου και η  κινητική ενέργεια της σανίδας.
Δ. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης  από τη χρονική στιγμή  t = 0  μέχρι τη χρονική στιγμή  t1.
E. Να υπολογίσετε το έργο της τριβής πάνω στη σανίδα από τη χρονική στιγμή  t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1.
ΣΤ. Να υπολογίσετε το έργο της τριβής πάνω στον κύλινδρο από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι την χρονική στιγμή  t1 και το συνολικό έργο της τριβής.
Να επαληθεύσετε την αρχή της διατήρησης της ενέργειας με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα.

Ένας πιο αργός τρόπος να κλείσουμε την πόρτα

Σε  απόσταση  2S=10m  από  μία  ανοιχτή  πόρτα, η  οποία  είναι  αρχικά  ακίνητη ,  κάθετη  στον  τοίχο  και  μπορεί  να  περιστρέφεται  χωρίς  τριβές  γύρω  από  κατακόρυφο  άξονα  που διέρχεται  από  τα  σημεία  επαφής  της  με  τον  τοίχο,  βρίσκεται  ένας  μαθητής  Α  καθισμένος  σε  μια  καρέκλα. Η  καρέκλα  είναι  εφοδιασμένη  με  τέσσερα ροδάκια  μάζας  m=0,25  και ακτίνας   r  το καθένα  τα  οπoία  θεωρούνται  ομογενείς  δίσκοι. Η  συνολική  μάζα  του  συστήματος  μαθητής-καρέκλα (χωρίς  τα  ροδάκια)  ισούται με Μ=79kg. Κάποια  στιγμή  που  την  θεωρούμε  ως  t=0  ένας άλλος  μαθητής  Β  αρχίζει  να ασκεί  σταθερή  δύναμη  F=20,125N  στο σύστημα  οπότε  αυτό  αρχίζει  να κινείται  παράλληλα  στον  τοίχο,  προς  την  πόρτα  καθώς  τα  ροδάκια κυλίονται  χωρίς  να  ολισθαίνουν στο δάπεδο. Όταν  το σύστημα  έχει  διανύσει  απόσταση  S  ο  μαθητής  Β  σταματάει  να  ασκεί  την  δύναμη. Κάποια  στιγμή  το  σύστημα  φτάνει  στην  πόρτα  απέχοντας  από τον  τοίχο  απόσταση  L  οπότε  συγκρούεται  ελαστικά  με  την  πόρτα  η  οποία  θεωρείται  ορθογώνια  πλάκα μάζας  Mπ=10kg  και  μήκους  L=1,5m. Προηγουμένως  η  καθαρίστρια  έχει  σφουγγαρίσει  στην  περιοχή  όπου  πρόκειται  να  περιστραφεί  η  πόρτα  οπότε  κατά  τη  διάρκεια  της  κρούσης  αλλά  και  μετά  από  αυτήν  δεν  υπάρχουν  τριβές  για  τα  ροδάκια  και  την  πόρτα. Να  βρείτε  την  χρονική  στιγμή  που η  πόρτα  κλείνει. Δίνεται  ότι  η  ροπή  αδράνειας  ενός  ομογενούς  δίσκου  ακτίνας  r  και  μάζας  m ως προς  άξονα  που  διέρχεται  από  το  κέντρο  μάζας  του  δίνεται  από  την  σχέση  Ιδ=0.5mr2  και  της  πόρτας  ως  προς  τον  άξονα  περιστροφής  της  από  τη  σχέση  Ιπ=MπL2/3.Επίσης  π=101/2=3,16. Η διάρκεια  της  κρούσης  θεωρείται  αμελητέα.



Τετάρτη, 29 Ιανουαρίου 2014

Παράξενο κεκλιμένο και ημισφαίριο.

Από το ανώτερο άκρο ενός  μη λείου  κατακόρυφου  τεταρτοκύκλιου  ακτίνας R=0,95m αφήνουμε ένα λεπτό δαχτυλίδι ακτίνας r=0,05m  και μάζας m=170g. To δαχτυλίδι αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και φτάνοντας στο χαμηλότερο σημείο του τεταρτοκυκλίου  μπαίνει σε λείο κατακόρυφο ημικύκλιο  ακτίνας  R1 όπου εκεί το δαχτυλίδι μόλις και εκτελεί ανακύκλωση.
Να βρεθούν:
Α) Η μέγιστη ταχύτητα του κέντρου μάζας του δαχτυλιδιού.
Β) H  ακτίνα του λείου ημικυκλίου R1.
Γ) Η δύναμη που δέχεται το δαχτυλίδι από το ημικύκλιο όταν η ταχύτητα του κέντρου μάζας του  είναι κατακόρυφη.


Κι αν πρέπει να συγκρίνουμε την κρίσιμη γωνία με τη γωνία διάθλασης;

Παρατηρητής Μ βρίσκεται μέσα σε οπτικό μέσο με δείκτη διάθλασης και κοιτάζει προς τη διαχωριστική επιφάνεια των δύο οπτικών μέσων. Γνωρίζουμε ότι η κρίσιμη γωνία είναι 42 μοίρες. Στα σημεία Α και Β υπάρχουν δύο πηγές δεσμών L.A.S.E.R..



Αν φ = θ = 45 και 0<=π<90 , ο παρατηρητής βλέπει :
α. μόνο την πηγή Α αφού στο μάτι του φτάνει η ακτίνα (1) και όχι η ακτίνα (2).
β. μόνο την πηγή Β αφού στο μάτι του φτάνει η ακτίνα (2) και όχι η ακτίνα (1).
γ. και τις δύο πηγές αφού στο μάτι του φτάνουν και ακτίνα (1) και η ακτίνα (2).
• Ποια από τις παραπάνω προτάσεις είναι σωστή.
• Δικαιολογείστε την απάντησή σας.
Απάντηση

LASER.pdf

LASER.docx




Τρίτη, 28 Ιανουαρίου 2014

Σφαίρα σχοινί και κύλινδρος.

Σφαίρα έχει μάζα m=0,5Kg και ακτίνα r=0,1m  και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε τραπέζι έχοντας σταθερή ακτίνα  κυκλικής τροχιάς R=3m.To σκοινί  είναι τυλιγμένο πολλές φορές  σε γιο-γιο  μάζας Μ=5Κg και ακτίνας R2=0,5m  που πέφτει ενώ το σκοινί είναι συνεχώς κατακόρυφο όπως στο παρακάτω σχήμα.
Nα βρεθούν :
α)H στροφορμή της σφαίρας γύρω από μία διάμετρό της που βρίσκεται στην ίδια ευθεία με το σκοινί.
β) H στροφορμή της σφαίρας γύρω από την κάθετη στο  τραπέζι και στο κέντρο της κυκλικής τροχιάς  αν υποθέσουμε ότι r<<R.
γ)Η στροφορμή του γιο-γιο γύρω από τον άξονα περιστροφής του την χρονική στιγμή t=3s.
δ)Να σχεδιασθούν τα παραπάνω διανύσματα των στροφορμών σε τριασδιάστατο(όσο είναι δυνατόν) σχήμα.
Icmσφαιρας=0,4ΜR2   Icmκυλινδρου=0,5ΜR2.

Θα ανεβεί ο κύλινδρος το σκαλοπάτι; Αν ναι, πόση είναι η γωνιακή ταχύτητά του , όταν ανέβει.

Στο σχήμα απεικονίζεται ένας κύλινδρος μάζας M1  ακτίνας R , ροπής αδράνειας Ι= ½ ΜR2,  εφάπτεται στο σκαλοπάτι ύψους h. Στο κέντρο του είναι προσαρμοσμένος άξονας που συνδέετααι κατάλληλα μέσω μη εκτατού νήματος με τροχαλία μάζας mτ και ροπής αδράνειας Ιτ= ½ mτr2.  Το νήμα περνά από μια αύλακα της τροχαλίας και καταλήγει σε σώμα μάζας m2. Το όλο σύστημα το κρατάμε ακίνητο. Κάποια στιγμή αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί.
1. Δείξτε ότι για να κινηθεί πρέπει να ισχύει:  m21∙√(h(2R-h)/(R-r  και να υπολογίσετε την αρχική γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου γύρω από το σημείο Γ.
2. Να αποδείξετε ότι ο κύλινδρος θα ανέλθει το σκαλοπάτι και να βρείτε τη γωνιακή ταχύτητά του γύρω από το Γ, αν η απόσταση από το κέντρο του κυλίνδρου μέχρι το σημείο που εφάπτεται της τροχαλίας είναι d.
3.  Δείξτε ότι ο κύλινδρος θα αρχίσει να κυλίεται με αρχική γωνιακή ταχύτητα αυτή που απέκτησε στο ερώτημα 2.
Ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει στην κόχη Γ του σκαλοπατιού.
Εφαρμογή: M1=120kg, h=0,2m, R=0,5m , m2=180kg , mτ=1kg , d=0,9m , g=10m/s2
r=0,06m.

Ελάχιστη Κινητική ενέργεια ράβδου.

Ομογενής λεπτή  ράβδος ΑΓ  μάζας Μ=1Κg  και μήκους L=0,3m ισορροπεί κατακόρυφα γύρω από οριζόντιο άξονα που βρίσκεται στο ένα της άκρο Α. Δίνουμε στη ράβδο αρχική γωνιακή ταχύτητα ω0 =30r/s και ταυτόχρονα ασκούμε συνεχώς  στο  άκρο  Γ κάθετη δύναμη F με μορφή F=θ-π/2 +5ημθ  (SI) όπου θ η γωνία που διαγράφει η ράβδος. Να βρεθούν:
Α) Η γωνία που η ράβδος θα αποκτήσει  ελάχιστη κινητική ενέργεια  καθώς και η ελάχιστη κινητική ενέργεια.
B) Εκτελεί ή όχι ανακύκλωση η ράβδος;
Γ) Η μέγιστη κινητική ενέργεια της ράβδου.
Ια=1/3ΜL2  & π2=10

Δευτέρα, 27 Ιανουαρίου 2014

Τι κίνηση κάνει ο τροχός;

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ένας τροχός που κινείται.

Α) Σε ποια ή ποιες περιπτώσεις ο τροχός:
i) εκτελεί μόνο στροφική κίνηση;
ii) κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει;
iii) μεταφέρεται χωρίς να στρέφεται.
iv) εκτελεί σύνθετη κίνηση.
v) στρέφεται αλλά και ολισθαίνει
vi) σπινάρει.
Β)  Στον τροχό (α) του παραπάνω σχήματος, αν η ταχύτητα του κατώτερου σημείου έχει μέτρο υ, πόσο το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Α, στο μέσο μιας ακτίνας;
Γ)  Αν στον τροχό του (γ) σχήματος υ1=2υ2=12m/s να βρεθεί η ταχύτητα υcm του άξονα του τροχού αν η ακτίνα του είναι R=0,5m.
Δ) Αν στον τροχό του σχήματος (στ) υcm=2υ=4m/s, να βρεθεί η ταχύτητα του σημείου επαφής του τροχού με το έδαφος.
ή



Κυριακή, 26 Ιανουαρίου 2014

Μία τρέντυ τροχαλία

H άσκηση αφιερώνεται στο Δάσκαλο Αντρέα Iωάννου Κασσέτα μιας και η παρακάτω άσκηση «πηγάζει» από την δικιά του Το μισό καρπούζι

Δύο λεπτοί δίσκοι έχουν μάζες Μ′1 = 2π2 kg και Μ′2 = 8π2 kg είναι φτιαγμένοι από διαφορετικό υλικό ενώ έχουν την ίδια ακτίνα R = 1 m. Κόβουμε τους δίσκους στην μέση και συγκολλάμε τα δύο διαφορετικά κομμάτια δημιουργώντας ένα νέο δίσκο. Τον δίσκο τον μετατρέπουμε σε τροχαλία δημιουργώντας μία μικρή οπή στο κέντρο του. Κρεμάμε δύο σημειακές μάζες m1 = 9 kg και m2 = 1 kg σε ένα σκοινί που έχουμε περάσει στην τροχαλία ενώ τα σώματα m1 και m2 κρατιούνται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και ενώ η τροχαλία έχει την διάμετρό συγκόλλησης των δύο δίσκων κατακόρυφη όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Κάποια στιγμή αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να περιστραφεί. Nα βρεθούν:
α. Η φορά κίνησης  του σώματος m1.
β. Η κινητική ενέργεια του συστήματος όταν η απόσταση των δύο σωμάτων γίνει  d=(4+π2)1/2m
γ. Η γωνία που έχει στραφεί η τροχαλία την στιγμή που το σύστημα έχει την μέγιστη κινητική του ενέργεια.
Δίνεται η ροπή αδράνειας δίσκου: Ιcm= ½ ΜR2, το κέντρο μάζας κάθε ημικυκλίου απέχει από το κέντρου του κύκλου απόσταση ℓ=4R/3π και για τις πράξεις g = 10 m/s2.


Πέμπτη, 23 Ιανουαρίου 2014

Ποπάυ και Όλιβ

Ο Μπρούτο έχει απαγάγει την Όλιβ και την έχει φυλακίσει σε ένα κελί σε ψηλό μέρος. Γύρω από αυτό υπάρχει τάφρος με κροκοδείλους και ο μόνος τρόπος για να πάει κάποιος είναι μέσω μιας δοκού μήκους ℓ = 6 m, που είναι αρθρωμένη γύρω από άξονα που απέχει από το άκρο απόσταση d = 1 m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Για να στήσει παγίδα ο Μπρούτο στον Ποπάυ που σπεύδει για να σώσει την Όλιβ, έχει χαλάσει τον μηχανισμό που κρατά την δοκό οριζόντια και αντ’ αυτού έχει κρεμάσει στο άκρο σώμα Σ1 μάζας m1 = 40 kg, έτσι ώστε μόλις ο Ποπάυ περπατήσει πάνω στην δοκό αυτή να αρχίσει να περιστρέφεται. Ο Ποπάυ αντιλαμβάνεται την παγίδα και πριν ανέβει στην δοκό δένει το σώμα Σ1 με ένα κιβώτιο που βρίσκεται στο έδαφος μάζας m2 = 550 kg, με το νήμα 2 να μην ασκεί αρχικά καμία δύναμη στο Σ1 αλλά να είναι εντελώς κατακόρυφο.

α. Να υπολογίσετε το βάρος της δοκού

β. Αν την στιγμή που φτάνει ο Ποπάυ στο άκρο της δοκού το κιβώτιο δέχεται δύναμη από το δάπεδο N = 1500 N να βρείτε την μάζα Μ1 του Ποπάυ και την δύναμη που ασκεί η ράβδος στην άρθρωση.

γ. Αφού ο Ποπάυ έχει ελευθερώσει την Όλιβ παίρνουν τον δρόμο της επιστροφής. Η Όλιβ όμως πάσχει από υψοφοβία έτσι δεν μπορούν να προχωρήσουν χωριστά πάνω στην δοκό, οπότε ο Ποπάυ την παίρνει αγκαλιά αλλά μόλις δοκιμάσουν να πατήσουν πάνω στην δοκό βλέπουν ότι το κιβώτιο ανασηκώνεται, οπότε εγκαταλείπουν αυτήν την ιδέα. Πιάνονται λοιπόν χέρι – χέρι και έτσι μόλις που δεν ανατρέπεται η δοκός. Βάσει αυτών να υπολογίσετε και τη μάζα της Όλιβ. (Όταν οι δύο είναι πιασμένοι χέρι – χέρι απέχουν μεταξύ τους 1 m)

 

 

 

Τετάρτη, 22 Ιανουαρίου 2014

Πλαστική κρούση ράβδου-δίσκου και ταλάντωση.

Λεπτή  ράβδος  έχει μάζα Μ1=2Κg  μήκος L=0,6m και έχει μικρή στο κέντρο μάζας της ενώ  ισορροπεί οριζόντια με τη βοήθεια κατακόρυφου νήματος που είναι περασμένο από την οπή της ράβδου. Στην ίδια κατακόρυφη με το νήμα  και σε απόσταση Η=0,6m ισορροπεί με την βοήθεια ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=100Ν/m λεπτός δίσκος μάζας M2=2Kg και ακτίνας R=L/2  που και αυτός έχει μικρή οπή από την οποία έχει περάσει το ένα άκρο του ελατηρίου. Την χρονική στιγμή t=0 δίνουμε στη ράβδο αρχική  κατακόρυφη  γωνιακή ταχύτητα  ω1  που έχει την κατεύθυνση του νήματος  ενώ ταυτόχρονα δίνουμε κατακόρυφη γωνιακή ταχύτητα ω2 στον δίσκο.
H περιστροφή των δύο στερεών γίνεται χωρίς τριβές γύρω από  τους άξονές τους . Την χρονική στιγμή t=1s κόβεται  το κατακόρυφο νήμα και  μετά από λίγο τα δύο στερεά συγκρούονται πλαστικά. Αν την στιγμή που το ελατήριο έχει την μέγιστη δυναμική του ενέργεια για πρώτη φορά  το σύστημα παύει να περιστρέφεται ενώ η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης του κέντρου μάζας του συστήματος των δύο στερεών  μετά την πλαστική τους κρούση έχει μέτρο ίσο με το μέτρο της γωνιακής ταχύτητα του δίσκου πριν την κρούση των δύο στερεών  να βρεθούν:
α)Το μέτρο της αρχικής γωνιακής ταχύτητας της ράβδου.
β)Η  συνολική απώλεια ενέργειας σε όλη την διάρκεια του φαινομένου.
γ)To μέτρο της  μέσης τιμής του μέτρου της ροπής  της τριβής που ασκήθηκε στη ράβδο.
δ)Η ποιοτική γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητα της ράβδου  αν θετική φορά θεωρηθεί η φορά προς τα πάνω.
Ιcmραβ=1/12ΜL2  και Ιcmδίσ=1/2ΜR2 g=10m/s2   √0,12≈0,35.

H πλαστική κρούση των δύο στερεών γίνεται ακαριαία.

Χρονική συνάρτηση και κύλιση

Μία σφαίρα μάζας Μ=1kg  και ακτίνας R=0,5m  αφήνεται  τη  χρονική στιγμή t=0 από το κορυφή κεκλιμένου επιπέδου μεγάλου μήκους  με ημφ=0,6.Ταυτόχρονα ασκούμε στο κέντρο μάζας της σφαίρας  δύναμη F=2t (SI) κάθετη προς το κεκλιμένο επίπεδο με φορά προς τα πάνω. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ σφαίρας και κεκλιμένου επιπέδου είναι μ=0,4  να βρεθούν:
Α)Ποια χρονική στιγμή θα σταματήσει η κύλιση χωρίς ολίσθηση της σφαίρας
Β)Η χρονική στιγμή που θα χαθεί η επαφή με το δάπεδο
Γ)Την ταχύτητα του κέντρου μάζας την στιγμή της απογείωσης
Δ)Την γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας την στιγμή της απογείωσης
Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας Ιcm=0,4MR2 και g=10m/s2.
Η μέγιστη στατική τριβή να θεωρηθεί ίση με την τριβή ολίσθησης.