Ταλάντωση ράβδου και μια τροχαλία.

Στο σχήμα φαίνεται μια ράβδος μάζας m₁ = m, η οποία βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο συνδεδεμένη σε ιδανικό αβαρές ελατήριο σταθεράς k = 300 N/m.  Η ράβδος βρίσκεται διαρκώς σε επαφή με τροχαλία μάζας m₂ = 2m , στην περιφέρεια της οποίας έχουμε χαράξει αβαθές αυλάκι και έχουμε τυλίξει μέσα σε αυτό αβαρές μη εκτατό νήμα. Στην άλλη άκρη του νήματος είναι συνδεδεμένο σημειακό σώμα μάζας m₃ = m. Τόσο μεταξύ της ράβδου και της τροχαλίας όσο και μεταξύ νήματος και τροχαλίας εμφανίζεται τριβή τέτοια ώστε να μην είναι δυνατή η ολίσθηση. Αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο. Δίνονται: m = 1kg, g = 10 m/s², η ακτίνα της τροχαλίας R = 1m και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι = (1/2) m₂ R²  .  Επίσης θεωρούμε ότι δεν εμφανίζεται τριβή στην τροχαλία από τον άξονα περιστροφής.

Α. Να βρείτε την παραμόρφωση του ελατηρίου όσο το σύστημα παραμένει ακίνητο.

Β. Ασκούμε εξωτερική δύναμη και φέρνουμε τη ράβδο στο φυσικό μήκος του ελατηρίου. Στη συνέχεια τη χρονική στιγμή t₀ = 0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί.

  i)  Πόση ενέργεια προσφέραμε στο σύστημα;

 ii)  Να δείξετε ότι η ράβδος θα εκτελέσει αρμονική ταλάντωση.

iii) Nα δώσετε τη σχέση που περιγράφει την στροφορμή της τροχαλίας σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας θετική την αρχική απομάκρυνση της ράβδου.

Απάντηση