Τρίτη, 31 Δεκεμβρίου 2013

Φάσεις και γραφικές παραστάσεις στην επιφανειακή συμβολή.

Στην επιφάνεια ενός ηρεμούντος υγρού, τη στιγμή t0=0 τίθενται σε ταλάντωση ταυτόχρονα δυο πηγές με συχνότητα 1Ηz και με πλάτος 3mm, οπότε δημιουργούν κύματα τα οποία θεωρούμε ότι διαδίδονται με σταθερό πλάτος. Κάθε σημείο στο οποίο φτάνει ένα κύμα ξεκινά την ταλάντωσή του προς τα πάνω. Ένα σημείο Σ απέχει αποστάσεις 0,6m και 1,2m από τις πηγές και το πρώτο κύμα, φτάνει στο Σ τη στιγμή t1=3s.
i)  Να υπολογιστούν η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και το μήκος του κύματος.
ii) Αφού βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων, να βρεθεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Σ, μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων.
iii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις:
 α) της απομάκρυνσης του σημείου Σ και
 β) της φάσης της απομάκρυνσης του Σ
μέχρι τη χρονική στιγμή t3=10s.
ή



ΜΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΤΡΟΠΗ

Ομογενής δοκός μήκους d = 2 m, και μάζας Μ, ισορροπεί οριζόντια πάνω σε κατακόρυφα υποστυλώματα που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d1 = 1,2 m, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Πάνω από την δοκό και σε απόσταση h = 0,3 m υπάρχει τεντωμένο και αλύγιστο σύρμα, όπου μπορεί να κινείται με τριβή μικρός δακτύλιος αμελητέας μάζας. Στον δακτύλιο έχουμε δέσει το ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου φυσικού μήκους ℓ0 = 0,2 m και σταθεράς k = 100 N/m. Στο άλλο άκρο του ελατηρίου υπάρχει μικρό σώμα αμελητέων διαστάσεων και μάζας m = 4 kg το οποίο μπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω στην δοκό. Την στιγμή που το μικρό σώμα πατά πάνω στη δοκό ο άξονας του ελατηρίου σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία θ = 60ο και κινείται με ταχύτητα υ0, ενώ όταν το σώμα διανύσει πάνω στην δοκό απόσταση s = 1,6 m, ακινητοποιείται και ο δακτύλιος εκείνη τη στιγμή βρίσκεται ακριβώς πάνω από το δεύτερο υποστύλωμα. Ο δακτύλιος μετά την ακινητοποίηση του δεν κινείται ξανά ενώ το μικρό σώμα εκτελεί ταλάντωση. Η δοκός κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του σώματος μάζας m, μόλις που χάνει την επαφή με το υποστύλωμα Υ1 όταν το μικρό σώμα δεν έχει κινητική ενέργεια.
 

Δευτέρα, 30 Δεκεμβρίου 2013

ΣΠΙΝΙΑΡΟΝΤΑΣ ΣΕ ΚΕΚΛΙΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Στο σχήμα απεικονίζεται κεκλιμένο επίπεδο κλίσης φ:  ημφ=0,6 και συνφ=0,8,  ένας κύλινδρος μάζας m=1kg και ακτίνας R=0,1m και ροπής αδράνειας ως προς τον άξονά του
 
I= ½ mR2. Γύρω  από την περιφέρειά του και στο μέσο του ύψους του έχουμε τυλίξει πολλές φορές, λεπτό νήμα μη εκτατό, σε αύλακα που υπάρχει.   Ο κύλινδρος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα , και στην αρχή δεν εφάπτεται του κεκλιμένου επιπέδου. Στο άκρο του νήματος, τη χρονική στιγμή to=0 ασκούμε σταθερή δύναμη F=mg μέχρι να αποκτήσει συχνότητα f0=60/π Ηz, και αμέσως τον αφήνουμε στο κεκλιμένο επίπεδο ελεύθερο χωρίς να ασκούμε δύναμη στο νήμα. Παρατηρούμε ότι ο κύλινδρος περιστρέφεται για λίγο στη θέση που τον αφήσαμε, και όταν σταματήσει να περιστρέφεται, αρχίζει να κυλά προς τα κάτω, μετατοπίζοντας το κέντρο μάζας του κατά  x=0,5m, κυλιόμενος χωρίς ολίσθηση. Δίνεται g=10m/s2 και ότι ο άξονάς του μετακινείται παράλληλα στην αρχική διεύθυνση.
1. Ποια χρονική στιγμή t1 αφήσαμε τον κύλινδρο στο κεκλιμένο επίπεδο.
2. Εξηγείστε γιατί ο κύλινδρος παρέμεινε για λίγο στο κεκλιμένο επίπεδο και υπολογίστε το χρονικό διάστημα αυτό.
3. Βρείτε τη χρονική στιγμή t3 που φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου καθώς και την ταχύτητα του κέντρου μάζας.
4. Πόση θερμότητα παράχθηκε ; Να υπολογίσετε το λόγο των δεξιόστροφων στροφών που έκανε ο κύλινδρος προς τον αριθμό των αριστερόστροφων.
Επαναλαμβάνουμε όπως και πριν με κλίση 30o του κεκλιμένου επιπέδου.  Τη στιγμή που ακουμπά (t=0) στο κεκλιμένο επίπεδο έχει την παραπάνω συχνότητα f0=60/π Ηz.
5. Πόσο διάστημα θα διανύσει ανεβαίνοντας μέχρι να σταματήσει στιγμιαία; Δίνεται 15√3/6=6,5 .

Κυριακή, 29 Δεκεμβρίου 2013

Στάσιμο και κρούση με ακλόνητο εμπόδιο.

Mια μεταλλική  τεντωμένη χορδή  έχει στερεωμένα τα δύο της άκρα που βρίσκονται στις θέσεις  x=0 και x=0,5m. Mε κατάλληλη διάταξη αναγκάζουμε την χορδή να πάλλεται με εξίσωση που δίνεται από τη σχέση:
ψ=0,2συν(10πx +3π/2)∙ημ10πt (SI).
Tην χρονική στιγμή t1=0,05s τοποθετούμε ένα ακλόνητο οριζόντιο εμπόδιο  στη θέση ισορροπίας της χορδής από την θέση x=0  μέχρι τη θέση x=10cm.Αν οι στοιχειώδεις μάζες της ατσάλινης χορδής συγκρούονται τελείως ελαστικά και ακαριαία με το ακλόνητο οριζόντιο εμπόδιο να βρεθούν:
α) Η ταχύτητα διάδοσης  των κυμάτων που δημιούργησαν το παραπάνω στάσιμο κύμα.
β) Πόσα σημεία είναι συνεχώς ακίνητα στην παραπάνω χορδή.
γ) Να σχεδιαστεί η μορφή της χορδής τις χρονικές στιγμές t1 και την t2=0,15s.


Παρασκευή, 27 Δεκεμβρίου 2013

Μια λίγο διαφορετική συμβολή.

Στην επιφάνεια ενός ηρεμούντος υγρού, βρίσκονται δυο πηγές κυμάτων Α και Β, οι οποίες ηρεμούν. Σε μια στιγμή θέτουμε σε κατακόρυφη ταλάντωση την Α πηγή, με συχνότητα f=1Ηz, οπότε διαδίδεται στην επιφάνεια του υγρού ένα κύμα, το οποίο μετά από 3s φτάνει σε ένα σημείο Μ, που βρίσκεται στην μεσοκάθετη της απόστασης των δύο πηγών απέχοντας d=1,5m από τις πηγές, το οποίο ξεκινά την ταλάντωσή του κινούμενο με κατεύθυνση προς τα πάνω. Το πλάτος του κύματος μειώνεται καθώς απομακρυνόμαστε από την πηγή και μετρώντας βρήκαμε ότι το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Μ είναι 4mm.
Σταματάμε την Α πηγή και θέτουμε σε παρόμοια ταλάντωση τη Β πηγή, οπότε εξαιτίας του νέου κύματος που δημιουργείται το σημείο Μ ταλαντώνεται με πλάτος  3mm και με συχνότητα 1Ηz.
i)   Να υπολογίστε την ταχύτητα διάδοσης του πρώτου κύματος και να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης της απομάκρυνσης του Μ σε συνάρτηση με το χρόνο, όταν ταλαντώνεται μόνο η Α πηγή.
Κάποια στιγμή t0=0, θέτουμε την Α πηγή σε νέα ταλάντωση και τη στιγμή t1=1,5s θέτουμε σε ταλάντωση και τη πηγή Β. Και οι δυο πηγές ξεκινούν την ταλάντωσή τους κινούμενες αρχικά με φορά προς τα πάνω.
ii)  Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Μ, μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων.
iii) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις:
α) της φάσης της απομάκρυνσης του Μ και
β) της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σημείου Μ,
για όλο το χρόνο ταλάντωσής του και μέχρι τη στιγμή t2=6s
ή

Πέμπτη, 26 Δεκεμβρίου 2013

Ένα πρόβλημα οπτικής με τέσσερεις πλάκες


Τέσσερεις  γυάλινες πλάκες , είναι τοποθετημένες η μια πάνω στην άλλη και φτιάχνουν μια κατακόρυφη γυάλινη στήλη , όπως φαίνεται στο σχήμα.
Η πλάκα που βρίσκεται στη βάση της στήλης,  έχει δείκτη διάθλασης n1 = 5(1/2)  και πάχος d1 , η αμέσως επόμενη δείκτη διάθλασης  n2 = 2  και  πάχος d2 ,  η τρίτη  n3 , d3 αντίστοιχα και η τελευταία,   έχει δείκτη διάθλασης n4. Τρεις ακτίνες μονοχρωματικού φωτός , ξεκινάνε ταυτόχρονα από τα σημεία Α1 , Α2 , Α3 και φτάνουν την ίδια χρονική στιγμή στα Β2 , Β3 , Β4 με γωνίες προσπτώσεως ίσες με τις κρίσιμες γωνίες στα σημεία αυτά.
Αν Α1Β1 = Α2Β2 = Α3Β3 = Α4Β4 = d = 20mm:
Η συνέχεια ΕΔΩ

Αν δίνεται μια κυματομορφή σε μια περιοχή.

Στο σχήμα δίνεται μια περιοχή ενός γραμμικού ελαστικού μέσου κάποια στιγμή t0, όπου η ταχύτητα του σημείου Ο έχει τιμή υο=0,4π m/s.
i)  Η κυματομορφή αυτή αντιστοιχεί σε τρέχον ή στάσιμο κύμα και γιατί; Να σχεδιάστε τη στιγμή αυτή την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β.
ii)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα διάδοσης ενός τρέχοντος κύματος κατά μήκος του παραπάνω μέσου.
iii) Να σχεδιάσετε τη μορφή της ίδιας περιοχής του μέσου τη χρονική στιγμή t0+0,75s.
iv)  Στην περίπτωση που τη στιγμή t0, οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Ο είναι μηδενικές, να σχεδιάστε ξανά τη μορφή του μέσου τη στιγμή t0+0,75s.
ή



Τετάρτη, 25 Δεκεμβρίου 2013

132. Δυο ράβδοι




Δυο πανομοιότυπες λεπτές, ισοπαχείς και ομογενείς ράβδοι ΑΒ και ΑΓ, που έχουν το ίδιο μήκος L=30cm και την ίδια μάζα m=1Kg η καθεμία, συγκολλούνται στο άκρο τους Α, ώστε να σχηματίζουν γωνία φ=  600. Το σύστημα των δυο ράβδων μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο ΓΑΒ, που διέρχεται από το σημείο Α, όπως  φαίνεται στο σχήμα. Το σύστημα αρχικά συγκρατείται στη θέση όπου η ράβδος ΑΒ είναι οριζόντια.
Τότε:
α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος των δυο ράβδων τη στιγμή  που αφήνουμε το σύστημα από την αρχική του θέση να περιστραφεί.
β) Να βρείτε την απόσταση x από το Α, του σημείου Ρ από το οποίο έπρεπε να περνάει ο οριζόντιος άξονας ώστε το σύστημα αρχικά να ισορροπούσε.
γ) Ενώνουμε τα κέντρα μάζας των δυο ράβδων με μια αβαρή ράβδο και φροντίζουμε έτσι ώστε ένας οριζόντιος άξονας περιστροφής να διέρχεται από το μέσο G του ευθυγράμμου τμήματος ΚΚ΄. Αν αφήσουμε το σύστημα να περιστραφεί από την αρχική του θέση και γύρω από τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το G, να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος.
δ) Στη συνέχεια το σύστημα ισορροπεί όπως στο σχήμα γύρω από άξονα που διέρχεται από το Α. Αν το σύστημα των δυο μαζών μετατοπιστεί ελάχιστα από αυτή τη θέση ισορροπίας του τότε ταλαντώνεται. Να βρείτε τη συχνότητα ταλάντωσής του.
Δίνεται η ροπή αδράνειας ράβδου μάζας m και μήκους L ως προς το κέντρο μάζας της Icm= mL2

 
Συνοπτική λύση:

Τρίτη, 24 Δεκεμβρίου 2013

Ανάκλαση κύματος σε ελεύθερο άκρο

Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο ταυτίζεται με τον ημιάξονα Οx ενός ορθοκανονικού συστήματος συντεταγμένων. Το σημείο Ο είναι προσδεδεμένο μέσω αβαρούς κρίκου σε ακλόνητο άξονα που συμπίπτει με τον άξονα y΄y. Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα μεγάλης έκτασης  πλάτους Α=5mm και συχνότητας f=2Hz διαδίδεται στο μέσο προς το σημείο Ο με ταχύτητα υ=8cm/s.
Η κίνηση των σημείων του μέσου γίνεται κατά την διεύθυνση του άξονα y΄y.
Θέτουμε t=0 την στιγμή που το μέτωπο του κύματος φτάνει στο σημείο Ο.

Το κύμα ανακλάται στο Ο χωρίς απώλειες ενέργειας. Να μην λάβετε υπόψη την επίδραση του πεδίου βαρύτητας.

1) Να υπολογίσετε τις εξισώσεις του προσπίπτοντος και ανακλώμενου κύματος
2) Να κάνετε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης των σημείων του μέσου τις χρονικές στιγμές t1=1.125 s και t2=1.25s
3) Να υπολογίσετε το πλήθος των δεσμών του στασίμου κύματος την χρονική στιγμή 5.3s.
Η απάντηση σε pdf και σε Word

Δευτέρα, 23 Δεκεμβρίου 2013

Σανίδα και κύλινδροι.

Πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο  γωνίας κλίσης φ=30Ο συγκρατούνται ακίνητοι δύο κύλινδροι μάζας Μ12=1Κg. Πάνω στους κυλίνδρους συγκρατούμε μία  λεπτή ράβδο μάζας Μ3=2Kg και μεγάλου μήκους.
Tην στιγμή t=0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο.
α) Αν υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει ολίσθηση ούτε των κυλίνδρων στο κεκλιμένο επίπεδο αλλά  ούτε  και της ράβδου πάνω στους δύο κυλίνδρους να βρεθεί η επιτάχυνση της ράβδου αλλά και η επιτάχυνση του κέντρου μάζας των δύο κυλίνδρων.
β)  Αν την χρονική στιγμή t1=5,5sec αφαιρεθεί απότομα η ράβδος να βρεθεί η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κάθε κυλίνδρου την χρονική στιγμή t2=7s.
Nα υποτεθεί ότι το κεκλιμένο επίπεδο όπως και η ράβδος έχουν αρκετά μεγάλο μήκος.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κάθε κυλίνδρου Ιcm=0,5MR2.



131… Ταρζάν και Τσίτα




 Ο Ταρζάν προσπαθεί να διασχίσει ένα ποτάμι και πρέπει να ισορροπήσει πάνω σε μια μικρή κρεμαστή γέφυρα ΑΓ που έχει μήκος L=4m και μάζα Μ1=30Kg και η οποία κρέμεται από δυο κατακόρυφα σχοινιά που είναι δεμένα στα άκρα της. Το ένα άκρο (Α) της γέφυρας είναι δεμένο μέσω του σχοινιού σ’ ένα βράχο ενώ το άλλο άκρο της  (Γ) είναι δεμένο σε σχοινί που είναι τυλιγμένο σε μια τροχαλία που το ελεύθερο άκρο του το τραβάει η Τσίτα που κρέμεται από το σχοινί και η γέφυρα ισορροπεί οριζόντια.
Όταν ο Ταρζάν βρίσκεται  ακίνητος σε μικρή οριζόντια απόσταση από το Α ίση με x0=cm τότε η Τσίτα ίσα – ίσα που ισορροπεί οριζόντια τη γέφυρα.

α) Αν η μάζα της Τσίτας είναι m=20 Kg τότε να υπολογιστεί η μάζα M του Ταρζάν.

β) Στη συνέχεια ο Ταρζάν αρχίζει να περπατάει προς το άκρο Γ της γέφυρας με σταθερή ταχύτητα υ=2m/s. Με πόση επιτάχυνση πρέπει να ανεβαίνει προς τα πάνω στο σχοινί η Τσίτα ώστε η γέφυρα να εξακολουθεί να ισορροπεί οριζόντια; Ποια είναι η μέγιστη επιτάχυνση της Τσίτας;

Οποιαδήποτε ταλάντωση της γέφυρας λόγω στατικής τριβής ανάμεσα στα πόδια του Ταρζάν και τη γέφυρα θεωρείται αμελητέα! Έτσι τα σχοινιά θεωρούνται σχεδόν κατακόρυφα.



Συνοπτική λύση: