Πέμπτη, 20 Δεκεμβρίου 2012

Διάδοση και συμβολή δύο παλμών.

Κατά  μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται με αντίθετη κατεύθυνση δυο αρμονικοί παλμοί πλάτους Α=0,2m με ταχύτητα 1m/s και κάποια στιγμή που θεωρούμε t=0, απέχουν κατά 3m, ενώ η εικόνα του μέσου, είναι αυτή του παρακάτω σχήματος.
i)  Λαμβάνοντας την θέση Γ σαν αρχή του άξονα (x=0) να βρείτε τις εξισώσεις y=f(t,x) που περιγράφουν τους παραπάνω παλμούς.
ii)  Να γράψετε την εξίσωση y=f(t,x) για το αποτέλεσμα της συμβολής των παραπάνω παλμών.
iii) Να σχεδιάστε τη μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t1=2s. Σε δύο παράλληλα σχήματα, να σχεδιάστε επίσης τη μορφή του μέσου, αν:
α) Στο μέσον διαδιδόταν μόνο η κυματομορφή που διαδίδεται προς τα δεξιά
β) Στο μέσον διαδιδόταν μόνο η άλλη κυματομορφή.
iv) Να υπολογιστούν την παραπάνω χρονική στιγμή, οι ταχύτητες ταλάντωσης τριών σημείων του μέσου, Κ, Λ και Μ, στις θέσεις x1=1mx2=1,5m και x3=2m αντίστοιχα.
ή

Τετάρτη, 19 Δεκεμβρίου 2012

Που βρίσκεται το σημείο Β όταν το σημείο Α ...


Ένα κύμα διαδίδεται σε γραμμικό ελαστικό μέσο και περνά πρώτα από ένα σημείο Α και κατόπιν από ένα άλλο σημείο Β. Τα δύο σημεία απέχουν απόσταση … . Ποια η θέση του σημείου Β όταν το Α βρίσκεται στη θέση τάδε και κινείται προς…. ;



Τρίτη, 18 Δεκεμβρίου 2012

Συμβολή δύο παλμών.

Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου, διαδίδονται αντίθετα δύο αρμονικοί παλμοί και σε μια στιγμή που θεωρούμε t0=0, η μορφή του μέσου, είναι αυτή του παρακάτω σχήματος.

Το χρονικό διάστημα που διαρκεί η ταλάντωση του σημείου Β είναι Δt=1s. Αντλώντας δεδομένα από το παραπάνω σχήμα, να υπολογίσετε για την χρονική στιγμή t΄=7/6s, την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου Μ.
ή

Κυριακή, 16 Δεκεμβρίου 2012

Ερωτήσεις στα κύματα - 2ο θέμα

Οι εκφωνήσεις ΕΔΩ

Οι απαντήσεις  ΕΔΩ

Το πλάτος ταλάντωσης κατά την επιφανειακή συμβολή.

Στην παραπάνω εικόνα, βλέπουμε τη διάδοση ενός κύματος στην επιφάνεια ενός υγρού. Μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε ότι όταν απομακρυνόμαστε από την πηγή, το πλάτος ταλάντωσης μειώνεται. Αυτό δικαιολογείται, αφού καθώς το κύμα απλώνεται στην επιφάνεια, η ενέργεια ταλάντωσης διαμοιράζεται συνεχώς και σε περισσότερα υλικά σημεία.
Έστω τώρα ότι στην επιφάνεια ενός υγρού, έχουμε δύο σύγχρονες πηγές κύματος Ο1 και Ο2 οι οποίες αρχίζουν να ταλαντώνονται κατακόρυφα, τη στιγμή t0=0, με εξισώσεις y=0,05·ημ2πt (μονάδες στο S.Ι.) δημιουργώντας έτσι εγκάρσια κύματα, τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα 0,4m/s. Η απόσταση των δύο πηγών είναι 0,8m. Παρατηρούμε ότι ένα σημείο Μ, στο μέσον της απόστασης των δύο πηγών ταλαντώνεται με πλάτος 8cm.
i)  Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Μ.
ii) To σημείο Σ, απέχει αποστάσεις r1=0,4m και r2=0,8m από τις δυο πηγές αντίστοιχα. Το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Σ, μετά την συμβολή των δύο κυμάτων μπορεί να είναι:
α) 0,02m     β) 0,04m                 γ) 0,06m                 δ) 0,08m
iii) Ένα άλλο σημείο Ρ, απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις r1=0,6m και r2=0,4m αντίστοιχα. Το κύμα από την πρώτη πηγή, φτάνοντας στο σημείο Ρ  έχει πλάτος 0,03m. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Ρ, μετά την συμβολή των δύο κυμάτων.

Σάββατο, 15 Δεκεμβρίου 2012

Ένα πρόβλημα συμβολής κυμάτων


Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 που απέχουν απόσταση 12cm, βρίσκονται στα σημεία Α και Β αντίστοιχα της ελεύθερης επιφάνειας νερού και προκαλούν εγκάρσια κύματα συχνότητας f=100Hz διαδιδόμενα με ταχύτητα υ = 4 m/s και σταθερό πλάτος A=1cm.
        i.            Να βρείτε το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιουργούν οι δύο πηγές.
Θεωρούμε την ευθεία (ε) παράλληλη στην επιφάνεια του νερού, η οποία είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ στο σημείο Β.
      ii.            Ένα σημείο Μ βρίσκεται στην ευθεία (ε) και απέχει από το σημείο Β απόσταση 9cm.
Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ είναι συνεχώς ακίνητο.
    iii.            Να βρεθεί η απόσταση από το σημείο Β του πλησιέστερου προς το Μ σημείου το οποίο επίσης είναι συνεχώς ακίνητο.
    iv.            Να βρεθεί το πλήθος των σημείων της ευθείας (ε) που είναι συνεχώς ακίνητα.
Απάντηση

ΤΟ «ΠΑΝΤΡΕΜΑ» ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ


Στο διπλανό σχήμα σώμα μάζας m=2kg πάχους d=2cm  ισορροπεί δεμένο στα ελατήρια με σταθερές k1=30N/m και  k2=20N/m. Το ελατήριο 1 στη θέση ισορροπίας είναι επιμηκυμένο κατά Δl1=0,8m .Στη θέση ισορροπίας το κάτω μέρος του σώματος είναι σχεδόν σε επαφή με τον ανοικτό διακόπτη δ  του κυκλώματος L-C . Ο πυκνωτής είναι χωρητικότητας C=10-6F και είναι φορτισμένος σε τάση  V=20 Volt. Το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=10-2H.  Μετακινούμε το σώμα κατακόρυφα προς τα πάνω κατά Α=4cm και τη στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Κατεβαίνοντας το κάτω δεξιό μέρος του σώματος κλείνει το διακόπτη δ,  χωρίς απώλεια ενέργειας. Δίνεται g=10m/s2.
Δ1) Να βρείτε την επιμήκυνση του ελατηρίου  2 και κατόπιν να δείξετε ότι το σώμα κάνει Α.Α.Τ. και να βρείτε την περίοδό του.                                                                
Δ2) Να βρείτε τη χρονική στιγμή t1 που κλείνει το κύκλωμα L-C  καθώς και τη χρονική στιγμή  t2 που ανοίγει,καθώς το σώμα ανεβαίνοντας ,βρίσκει το διακόπτη δ με το πάνω δεξί μέρος του.
Δ3) Απομακρύνουμε το κύκλωμα L-C μετά την πρώτη ταλάντωση του σώματος. Πόση είναι η τάση του πυκνωτή ; Ποιά η πολικότητά του;
Δ4) Πόσες πλήρεις ηλεκτρικές ταλαντώσεις έκανε το κύκλωμα L-C ; Πόση ήταν η ένταση του ρεύματος τη στιγμή t2; Φορτίζεται ή εκφορτίζεται ο πυκνωτής τη στιγμή t2;
Δ5) Πόση είναι η μέγιστη δύναμη που ασκούν  τα  ελατήρια  στα σημεία πρόσδεσής τους στην οροφή και στο δάπεδο; 
Δ6) ‘Όταν απομακρύναμε το κύκλωμα L-C το πηνίο διαρρέονταν με ρεύμα i που βρήκατε στο ερώτημα Δ5 και το πηνίο είχε ενέργεια μαγνητικού πεδίου.  Τι έγινε αυτή η ενέργεια; Πόση ήταν;                                                                                  

Παρασκευή, 14 Δεκεμβρίου 2012

Δυο πηγές που δεν συγχρονίστηκαν.

Στην επιφάνεια ενός υγρού ηρεμούν δυο πηγές κυμάτων Ο1 και Ο2, που μπορούν να εκτελέσουν κατακόρυφες αρμονικές ταλαντώσεις πλάτους Α=0,2m με συχνότητα f=1Ηz, οι οποίες απέχουν μεταξύ τους απόσταση (Ο1Ο2)=4m. Κάποια στιγμή, έστω t=0, η πηγή Ο1 ξεκινά την ταλάντωσή της κινούμενη προς τα πάνω. Η πηγή Ο2 όμως καθυστερεί να ξεκινήσει την ταλάντωσή της κατά 0,5s, κινούμενη με τον ίδιο τρόπο. Στην επιφάνεια του υγρού διαδίδονται έτσι δύο κύματα, τα οποία δεχόμαστε ότι διατηρούν σταθερό πλάτος, με ταχύτητα υ=2m/s.
i)  Από ποιες εξισώσεις περιγράφονται τα κύματα που δημιουργούνται;
ii) Να βρεθεί το πλάτος ταλάντωσης ενός σημείου Μ, το οποίο βρίσκεται στο μέσον του τμήματος Ο1Ο2.
iii) Ένα άλλο σημείο Σ ταλαντώνεται με πλάτος 0,4m, μετά την συμβολή των δύο κυμάτων. Να βρεθεί μια σχέση που συνδέει τις αποστάσεις r1 και r2 του σημείου Σ από τις δύο πηγές.
iv) Πόσες υπερβολές ενισχυτικής συμβολής σχηματίζονται στην επιφάνεια του υγρού;

Πέμπτη, 13 Δεκεμβρίου 2012

Εναλλακτική αντιμετώπιση: Στάσιμο κύμα σε χορδή



Χορδή μήκους L που ταυτίζεται με το θετικό ημιάξονα Οx έχει στερεωμένο το δεξί της άκρο Κ στη θέση x=+L του άξονα, ενώ το αριστερό της άκρο O που βρίσκεται στην αρχή του άξονα (x=0) αρχίζει την χρονική στιγμή t=0 να ταλαντώνεται με εξίσωση απομάκρυνσης y=Αημ(2πft)(S.I.), οπότε αρχίζει να διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με ταχύτητα μέτρου u.
α) Να βρείτε ποια χρονική στιγμή το κύμα φτάνει στο σημείο Κ και να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος.
Υποθέστε ότι σε συμμετρικό σημείο O’ του O ως προς Κ του θετικού ημιάξονα Οx βρίσκεται μία υποθετική(δευτερογενής) πηγή παραγωγής αρμονικών κυμάτων η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται κατακόρυφα την χρονική στιγμή t=0 με u<0 span="span"> και με πλάτος Α και συχνότητα f.


β) Ποια η χρονική εξίσωση ταλάντωσης της πηγής O’;
γ) Ποια χρονική στιγμή το κύμα που προκαλείται από την υποθετική πηγή O’ φτάνει στο σημείο Κ και ποια η εξίσωση αυτού του αρμονικού κύματος;
δ) Να γραφεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος που δημιουργείται.
ε) Για ποιες τιμές το αριστερό άκρο της χορδής είναι δεσμός και για ποιες κοιλία.
Θεωρώντας L=0,9m, A=0,1m , u=3m/s και ότι η μέγιστη απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και μίας κοιλίας κατά την διάρκεια ταλάντωσης είναι dmax=0,25m:
στ) να βρείτε το μήκος κύματος λ και τον συνολικό αριθμό δεσμών σε όλο το μήκος της χορδής.
ζ) Nα γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος όταν ολοκληρώνεται η δημιουργία στάσιμου κύματος σε όλη τη χορδή.
η) Να βρείτε την απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας του υλικού σημείου Λ που απέχει από το αριστερό άκρο απόσταση 0,5m μετά από 0,2s από τη στιγμή που ολοκληρώθηκε η συμβολή.
θ) Να βρεθεί κατά πόσο πρέπει να μεταβάλλουμε την συχνότητα των τρέχοντων κυμάτων ώστε να στην χορδή να σχηματιστούν δύο επιπλέον δεσμοί χωρίς να μεταβληθεί η κινητική κατάσταση του αριστερού άκρου Π.

Κυριακή, 9 Δεκεμβρίου 2012

Πληροφορίες από την ταλάντωση ενός σημείου.

Στο άκρο Ο ενός γραμμικού ελαστικού μέσου όπου παίρνουμε x=0, υπάρχει μια πηγή εγκάρσιου αρμονικού κύματος, η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t0=0. Το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά και το γράφημα της απομάκρυνσης ενός σημείου Σ, το οποίο απέχει κατά 2m από την πηγή, είναι αυτό του παραπάνω σχήματος. Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραμμα αυτό, να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις:
i)  Να βρεθούν η περίοδος, το πλάτος και το μήκος του κύματος.
ii) Πόσες συνολικά ταλαντώσεις εκτέλεσε η πηγή του κύματος;
iii) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.
iv) Να σχεδιάστε στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές:
α)  t1=1,5s ,   β) t2=3s  και  γ) t3=7,5s.
Πάνω στα στιγμιότυπα αυτά να σημειωθεί η θέση του σημείου Σ.