Σάββατο, 29 Σεπτεμβρίου 2012

Doppler: Όταν φυσά άνεμος – Μια φανταστική ιστορία

Αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα. Το αυτοκίνητο βρίσκεται μέσα
σε πολύ πυκνή ομίχλη, ώστε ο οδηγός δεν έχει καμία οπτική επαφή με το περιβάλλον.
Γνωρίζει μόνο ότι φυσά άνεμος ίδιας κατεύθυνσης με την ταχύτητα του αυτοκινήτου.
Το ταχύμετρο δείχνει 18 km/h. Ο οδηγός πατά την κόρνα για χρονικό διάστημα Δt
s=7,2s
και εκπέμπει ήχο συχνότητας f
s=710 Hz. Μπροστά από το αυτοκίνητο, πάνω στη διεύθυνση της ταχύτητάς του, σε απόσταση d=72m από τη θέση του αυτοκινήτου τη στιγμή που αρχίζει να εκπέμπει το ηχητικό σήμα, βρίσκεται ακίνητος παρατηρητής, ο οποίος διαθέτει συσκευή μέτρησης της συχνότητας των ήχων που λαμβάνει.
Αν η συσκευή ανιχνεύει ήχο συχνότητας fA=720Hz και η ταχύτητα του ήχου ως προς
το έδαφος είναι υ=340m/s, να υπολογίσετε:
α) Ποια η ταχύτητα του ανέμου ως προς το έδαφος;
β) Ποια χρονική στιγμή μετά την έναρξη της εκπομπής του ηχητικού σήματος από την πηγή (t=0), αρχίζει να λαμβάνει τον ήχο ο παρατηρητής και ποια χρονική στιγμή παύει να λαμβάνει;
γ) Τι αίσθηση έχει ο οδηγός του αυτοκινήτου σχετικά με την κίνηση του οχήματός του;

Η σφαίρα ή ο κύβος;

Πάνω σε ένα τραπέζι ηρεμούν ένας κύβος και μια σφαίρα και της ίδιας μάζας, που εμφανίζουν με το επίπεδο τον ίδιο συντελεστή τριβής μ, απέχοντας την ίδια απόσταση d από το άκρο του. Σε μια στιγμή δέχονται την επίδραση δύο ίσων σταθερών οριζόντιων δυνάμεων F (ο φορέας των δυνάμεων διέρχεται από το κέντρο μάζας των στερεών), με μέτρα F=2μΜg. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, ενώ ο κύβος ολισθαίνει.
Το τραπέζι θα εγκαταλείψει πρώτα:
α)  Η σφαίρα,           β) ο κύβος               γ) θα εγκαταλείψουν ταυτόχρονα το τραπέζι.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Στο άκρο ελατηρίου, μέσω νήματος.


Ένα σώμα Σ ηρεμεί όπως στο σχήμα, δεμένο στο άκρο νήματος μήκους 2d, έχοντας επιμηκύνει το ελατήριο κατά d. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά 2d και τη στιγμή t=0 το αφήνουμε να ταλαντωθεί.
i)  Η απόσταση που θα διανύσει το σώμα κινούμενο προς τα πάνω είναι:
    
ii) Η ταχύτητα του σώματος θα μηδενιστεί για πρώτη φορά τη χρονική στιγμή t1 όπου:

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Ταλάντωση και κόψιμο νήματος



Τα σώματα Σ1 και Σ2 που φαίνονται στο σχήμα έχουν μάζες m1=1kg και m2=3kg αντίστοιχα και είναι δεμένα μεταξύ τους με αβαρές και μη εκτατό νήμα μήκους l=0,7m. Το σώμα Σ1 είναι δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στην οροφή. Εκτρέπουμε το σύστημα από τη θέση ισορροπίας του κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d=0,3m και την χρονική στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο να ταλαντωθεί.
Α.        i) Να αποδείξετε ότι το σύστημα εκτελεί α.α.τ.
ii) Να γραφεί η χρονική εξίσωση απομάκρυνσης του σώματος Σ2 από τη θέση ισορροπίας του και η χρονική εξίσωση της δύναμης που ασκεί το νήμα στο σώμα Σ2, θεωρώντας ως θετική τη φορά προς τα πάνω.
iii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση των σωμάτων τη στιγμή που η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου ισούται με τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης.
iv) Να βρείτε τη μέγιστη απόσταση dmax που μπορούμε να εκτρέψουμε αρχικά το σύστημα, ώστε το νήμα να παραμένει διαρκώς τεντωμένο κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης.

Β. Κάποια στιγμή που το σύστημα βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση της ταλάντωσής του, κόβουμε το νήμα.
i) Να βρεθεί το νέο πλάτος ταλάντωσης του Σ1.
ii) Να υπολογιστεί η απόσταση των σωμάτων, όταν το Σ1 ακινητοποιηθεί για 1η φορά μετά το κόψιμο του νήματος.
Δίνονται: g=10m/s2, π2=10, και η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα.

Τρίτη, 25 Σεπτεμβρίου 2012

43. ΚΥΚΛΩΜΑ L-C και 3 ρυθμοί μεταβολής

Πυκνωτής χωρητικότητας C=8μF φορτίζεται με τάση V0=20V. Κατόπιν συνδέεται με πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L=20mH.
Ακόμη το πηνίο αποτελείται από Ν=1000 σπείρες με εμβαδό εγκάρσιας διατομής η καθεμία S=10-4m2, ενώ η απόσταση μεταξύ των οπλισμών του πυκνωτή είναι ℓ=1mm.
Τη χρονική στιγμή t0=0 κλείνουμε το διακόπτη. Τότε τη στιγμή t=4π/3×10-4s,
να βρείτε:
α) Το ρυθμό μεταβολής της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή.
β) Το ρυθμό μεταβολής της μαγνητικής ροής του μαγνητικού πεδίου του πηνίου .
γ) Το ρυθμό μεταβολής της έντασης του μαγνητικού πεδίου του πηνίου .
 

Συνοπτική λύση:

Κυριακή, 23 Σεπτεμβρίου 2012

Ανάποδη επαφή.


Στο ανώτερο σημείο κυλινδρικού κουτιού μάζας Μ=4Κg κρατάμε χωρίς να είναι κολλημένο  ένα δεύτερο σώμα μάζας m=1Kg  και αμελητέου πάχους. Το  κατώτερο σημείο του κυλινδρικού κουτιού είναι δεμένο στο πάνω μέρος κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=100N/m. Ανυψώνουμε το σύστημα ώστε το ελατήριο να έχει επιμηκυνθεί κατά x1 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. Κάποια στιγμή το δεύτερο σώμα χάνει την επαφή του με το κουτί έχοντας ταχύτητα υ=2(3)1/2m/s  και στην συνέχεια  σώματα συγκρούονται εντελώς πλαστικά την στιγμή που το κουτί σταματάει στιγμιαία για πρώτη φορά.
Α) Σε ποια θέση χάθηκε η επαφή των δύο σωμάτων;
B) Πόση είναι η αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου;
Γ) Ποιο το εσωτερικό ύψος του κυλινδρικού κουτιού;
Δ) Ποιο το νέο πλάτος ταλάντωσης του συστήματος ;

Σάββατο, 22 Σεπτεμβρίου 2012

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΠΟΥ ΜΕΤΑΤΡΕΠΕΤΑΙ ΣΕ ΦΘΙΝΟΥΣΑ



Ένα σώμα Σ μάζας m=2kg είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=50N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Αρχικά το σώμα ισορροπεί ακίνητο πάνω στο λείο οριζόντιο επίπεδο και το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος lo=0,5m. Στο σώμα έχουμε δέσει μη εκτατό αβαρές νήμα που έχει όριο θραύσεως Τmax. Ασκούμε στο άλλο άκρο του νήματος κατάλληλη οριζόντια δύναμη , οπότε το σώμα αρχίζει να μετακινείται από τη θέση ισορροπίας του με σταθερή επιτάχυνση μέτρου 7,5m/s2 και κάποια στιγμή, που τη θεωρούμε ως t=0, το ελατήριο έχει μήκος l1=0,7m και το νήμα σπάει.
α) Να υπολογίσετε το όριο θραύσεως του νήματος.
β) Για την κίνηση του σώματος μετά το σπάσιμο του νήματος, να υπολογίσετε:
i) την ενέργεια της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Σ
ii) την χρονική εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του σώματος Σ, θεωρώντας ως θετική τη φορά προς τα δεξιά
iii) το χρονικό διάστημα στη διάρκεια μίας περιόδου στο οποίο ισχύει Κ≤3U
iv) το έργο της δύναμης επαναφοράς από τη χρονική στιγμή t=0 έως τη χρονική στιγμή που το ελατήριο βρίσκεται για 1η φορά στην κατάσταση μέγιστης επιμήκυνσής του.
γ) Την χρονική στιγμή t1=7T/6, στο σώμα αρχίζει να ενεργεί δύναμη αντίστασης της μορφής Fαντ=−b.u, όπου b θετική σταθερά, με αποτέλεσμα η ταλάντωση να μετατρέπεται σε φθίνουσα. Κάποια στιγμή t2 όπου το ελατήριο έχει μήκος 0,8m το σώμα έχει ταχύτητα μέτρου 1m/s και επιταχύνεται με ρυθμό 7,1m/s2 ενώ την στιγμή t3 το μέτρο της ταχύτητας είναι κατά 25% μεγαλύτερο του μέτρου της την στιγμή t2, παίρνοντας έτσι την μέγιστη τιμή του για 1η φορά μετά την επίδραση της δύναμης αντίστασης (με την έννοια του τοπικού ακρότατου). Να υπολογιστούν:
i) η απώλεια μηχανικής ενέργειας στην χρονική διάρκεια Δt=t2-t1,
ii) η τιμή της σταθεράς b,
iii) η απομάκρυνση του σώματος από την θέση x=0 την χρονική στιγμή t3.