Κυριακή, 22 Ιουλίου 2012

Δίσκος και δακτυλίδι με κρούση και ταλάντωση


Ένας λεπτότατος  δίσκος μάζας Μ=1Κg και ακτίνας R=0,3m ισορροπεί οριζόντιος με την βοήθεια ενός κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=100Ν/m και φυσικού μήκους L0=0,7875m. To ελατήριο  είναι περασμένο στο κέντρο του δίσκου αφήνοντας τον ελεύθερο  να περιστρέφεται  οριζόντιος και χωρίς τριβές με το άκρο του ελατηρίου το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο  ακλόνητα στο έδαφος. Δαχτυλίδι  μάζας m=0,5Kg  και ακτίνας R=0,3m  βρίσκεται ακίνητο σε ύψος Η=0,8m πάνω από τον δίσκο σε οριζόντια θέση έτσι ώστε τα κέντρα του δίσκου και του δαχτυλιδιού να βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη. Με την βοήθεια μιας στιγμιαίας ροπής ζεύγους δίνουμε στο δαχτυλίδι αρχική  κατακόρυφη γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω0=10r/s και ταυτόχρονα αφήνουμε το δαχτυλίδι ελεύθερο. Το δαχτυλίδι μετά από λίγο και τη χρονική στιγμή t=0 διαπερνάει ακαριαία   το δίσκο και εξέρχεται από αυτόν με το μέτρο της αρχικής του γωνιακής ταχύτητα να μειώνεται κατά 50%.Το δαχτυλίδι εξαιτίας της κρούσης με το δίσκο χάνει το 75% της κινητικής του ενέργειας που είχε λίγο πριν γίνει η κρούση με το δίσκο.
Να βρεθούν:
Α) Η μέγιστη κινητική ενέργεια του δαχτυλιδιού αν η κρούση με το δάπεδο είναι πλαστική.
Β) Η μέγιστη κινητική του δίσκου
Γ) Η σχέση του μέτρου  της  ταχύτητας ενός σημείου του άκρου του δίσκου σε συνάρτηση του χρόνου αν  θετική φορά θεωρηθεί  η φορά προς τα κάτω.
Για το δίσκο Ιcm=0,5MR2 και g=10m/sec2.

Κυριακή, 15 Ιουλίου 2012

Διπλή Ταλάντωση.


Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δύο  σημειακά σώματα με μάζες m1=0,25kg και m2=1kg που είναι δεμένα με ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=100Ν/m και φυσικού μήκους L0=0,5m.
To πάτωμα και το ταβάνι έχουν την ιδιότητα όταν έρθουν σε επαφή με ένα από τα δύο σώματα να κολλάνε απευθείας με αυτό ενώ την ίδια στιγμή το άλλο σώμα να απελευθερώνεται. Την στιγμή t=0 σώμα μάζας m2 αφήνεται ελεύθερο με το ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος και το σώμα μάζας  m1 να είναι κολλημένο στο ταβάνι .Μόλις το σώμα μάζας m2 φτάσει στο πάτωμα κολλάει αυτόματα σε αυτό και την ίδια στιγμή ξεκολλάει το σώμα μάζας m1 από το ταβάνι. Σε όλο το παραπάνω φαινόμενο και στη συνέχεια αυτού δεν θέλουμε να χάνεται καθόλου ενέργεια. Να βρεθούν:
i)     Η κατακόρυφη απόσταση του πατώματος από το ταβάνι.
ii)    Ο χρόνος που θα χρειασθεί μέχρι να ξαναβρεθούν τα δύο σώματα στην αρχική τους θέση
iii)   Η ελάχιστη και η μέγιστη απόσταση των δύο σωμάτων.
Δίνεται το g=10m/sec2.

Παρασκευή, 13 Ιουλίου 2012

Άλλη μια παραλλαγή με κρούση.


Στο παρακάτω σχήμα ο ομογενής δίσκος έχει μάζα Μ1=2 Κg, ακτίνας R  και είναι δεμένος στο κέντρο του με δύο ελατήρια που έχουν σταθερές Κ1=200N/m και Κ2=100N/m και δεν εμποδίζουν την περιστροφή του δίσκου γύρω από το κέντρο μάζας του.
Το κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία κλίσης φ=30o  και την χρονική στιγμή t=0 ο δίσκος αφήνεται ελεύθερος ενώ εκείνη τη στιγμή τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος. Ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε όλη τη διάρκεια της κίνησή του.
Α)Να αποδειχθεί ότι το κέντρο μάζας του δίσκου θα εκτελέσει γ.α.τ.
Β)Να γραφεί η εξίσωση απομάκρυνσης του κέντρου μάζας του δίσκου αν υποτεθεί ότι θετική φορά είναι η αρχική φορά της αρχικής επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του δίσκου.
Γ)Να βρεθεί ο ελάχιστος συντελεστής στατικής τριβής έτσι ώστε ο δίσκος να συνεχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει
Κάποια στιγμή ένα σημειακό βλήμα μάζας m=1kg κινείται παράλληλα με το κεκλιμένο επίπεδο και σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο μάζας του δίσκου ενώ η ταχύτητα του κέντρου μάζας η ταχύτητα του βλήματος έχουν αντίθετη φορά.
Δ)Σε ποια θέση πρέπει να γίνει η στιγμιαία κρούση των δύο σωμάτων αν θέλουμε το σύστημα να εκτελεί μόνο περιστροφική κίνηση;
E)Ποια το μέτρο της ταχύτητα του βλήματος;
Δίνεται για το δίσκο Ιcm= ½M1R2

Πέμπτη, 5 Ιουλίου 2012

Μια παραλλαγή με κρούση.


Λείο κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία κλίσης φ=30ο. Στα σημεία Α και Β στερεώνουμε τα άκρα δύο ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k1=100Ν/m και k2=20Ν/m αντίστοιχα. Aνάμεσα στα δύο ελατήρια  κρατάμε χωρίς να δένουμε (με τα ελατήρια) το σώμα Σ1  μάζας  m1=2kg  στη θέση όπου τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους μήκος (όπως φαίνεται στο σχήμα). Κάποια στιγμή εκτοξεύουμε το σώμα Σ1 με αρχική ταχύτητα υo=2m/sec με φορά προς το σημείο Α.
i)     Να  βρεθεί η απόσταση  μεταξύ των δύο ακραίων θέσεων της ταλάντωσης του σώματος Σ1.
Κάποια  άλλη χρονική στιγμή αφήνουμε ελεύθερo  από ύψος Η=1,6m  πάνω από την αρχική θέση του σώματος Σ1 ένα δεύτερο σώμα πάνω στην ίδια κατακόρυφο που περνάει  από το σώμα Σ1. Ενώ το σώμα Σ1 βρίσκεται στην αρχική του θέση και κινείται προς το σημείο Β  το δεύτερο σώμα μάζας m2=2kg kg σφηνώνεται ακαριαία  πέφτοντας κατακόρυφα στο σώμα Σ1.
ii)   Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση
iii)  Να γίνουν  οι γραφικές παραστάσεις των ενεργειών των δύο ελατηρίων σε συνάρτηση με το χρόνο θεωρώντας στιγμή t=0 την στιγμή της κρούσης των δύο σωμάτων.
Δίνεται (0,65)1/2=0,8

Δευτέρα, 2 Ιουλίου 2012

36. ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ



Ένα σώμα μάζας m=4Kg ισορροπεί δεμένο σε ελατήριο σταθεράς Κ=400Ν/m πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ=300. Τη χρονική στιγμή t=0 εξασκούμε στο σώμα μια σταθερή δύναμη F=80N με φορά προς τα πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα.
α) Να αποδείξετε ότι το σύστημα πραγματοποιεί α.α.τ,
β) Να γράψετε την εξίσωση x(t) της α.α.τ, καθώς και τη χρονική εξίσωση της δύναμης επαναφοράς ΣF(t).
γ) Να γράψετε την εξίσωση d(t) της απομάκρυνσης d του σώματος από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου σε συνάρτηση με το χρόνο t, καθώς και τη χρονική εξίσωση της δύναμης του ελατηρίου Fελ(t).
δ) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της μάζας m, τη χρονική στιγμή t= s.
Να θεωρήσετε την προς τα πάνω φορά θετική. Δίνεται g=10m/s2

Κυριακή, 1 Ιουλίου 2012

ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΚΑΙ ΟΛΙΣΘΗΣΗ

Τα σώματα Σ1 και Σ2 του σχήματος με μάζες αντίστοιχα, m1= 1Kg και m2=4 Kg  αρχικά ισορροπούν. Το Σ1 βρίσκεται πάνω στο Σ2. Το επίπεδο επαφής των δυο σωμάτων είναι οριζόντιο και ο συντελεστής τριβής μεταξύ τους είναι μ=0,5. Το Σ2 βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ακόμη το Σ2 είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=400N/m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάποια στιγμή και ενώ το σύστημα των δυο σωμάτων ισορροπεί, δίνουμε αρχική ταχύτητα υ0= m/s στο Σ1, οπότε και αρχίζει να ολισθαίνει πάνω στο Σ2.
α) Πόσο μετακινείται το Σ1 πάνω στο Σ2 μέχρι να σταματήσει;
β) Πόση είναι η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώματα;
γ) Πόσο μετακινήθηκε το Σ1 σε σχέση με το  Σ2 μέχρι τη στιγμή αυτή;
δ) Πόση είναι η θερμότητα που μεταφέρεται στο περιβάλλον;
ε) Τι είδους κίνηση θα ακολουθήσει μετά από τη στιγμή αυτή;
Δίνεται g=10m/s2 και π2=10.

Λύση: