Σάββατο, 26 Μαΐου 2012

Ένα σύστημα που εκτελεί γ.α.τ.


Το παρακάτω σχήμα αποτελείται από ένα ακλόνητο  ισοσκελές λείο τρίγωνο που οι γωνίες στην βάση  του είναι 30ο και στην κορυφή αυτού έχουμε στερεώσει μία τροχαλία μάζας Μ=4Κg που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο  ακλόνητο άξονα.Tα σώματα έχουν μάζες Μ12=4Κg και ισορροπούν με τα ελατήρια να έχουν μεγαλύτερο μήκος από το φυσικό τους μήκος με την βοήθεια  μη εκτατού νήματος που συνδέεται με τα σώματα μέσω της τροχαλίας. Τα ελατήρια έχουν σταθερές Κ1=400Ν/m και Κ2=100Ν/m.
Αρχικά το ελατήριο με σταθερά Κ1 είναι επιμηκυμένο κατά x1=0,1m σε σχέση με το φυσικό του μήκος. Απομακρύνουμε λίγο το σύστημα από την θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο.
ANα βρεθεί η αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου με σταθερά Κ2
Β)  Να αποδείξετε ότι το κάθε σώμα θα εκτελέσει α.α.τ. και  να υπολογιστεί η περίοδος του συστήματος.
Γ)  Να βρεθεί η συνθήκη έτσι ώστε το σύστημα να εκτελεί α.α.τ.
Για την τροχαλία Ιcm= ½ MR2.

Τετάρτη, 23 Μαΐου 2012

Θέμα Β: Σύνθεση τριών ταλαντώσεων


Μικρό σώμα εκτελεί ταυτόχρονα τρεις απλές αρμονικές ταλαντώσεις που εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας σύμφωνα με τις παρακάτω εξισώσεις:
ax1=0,1ημ100πt
bx2=0,05ημ(100πt+π)                     (S.I)
cx3=0,05ημ102πt
Ποια η εξίσωση που περιγράφει την συνισταμένη ταλάντωση που εκτελεί το σώμα;

Φυσική Γ.Π. Θέματα εξετάσεων 2012.


Δείτε όλα τα θέματα Φυσικής Γ.Π. στα οποία εξετάσθηκαν σήμερα οι μαθητές μας. 

Κυριακή, 20 Μαΐου 2012

Η ΘΕΣΗ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΚΡΟΥΣΗΣ ΚΑΙ Η ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΠΛΑΤΟΥΣ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

33. Δίσκος_ελατήριο




Ο δίσκος του σχήματος μάζας M=880g ακτίνα R=0,5m και περιστρέφεται αντιωρολογιακά με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=10 rad/s.
Στην περιφέρεια του δίσκου υπάρχει μάζα m1=1Kg, ενώ πάνω από το δίσκο ταλαντώνονται δυο μάζες m2, με m2=1Kg και με εξίσωση ταλάντωσης x=0,1ημ100t. Η θέση ισορροπίας των μαζών απέχει από το δίσκο κατακόρυφη απόσταση h=2,2m.

A) Τη στιγμή που η το σύστημα που ταλαντώνεται βρίσκεται στη θέση ισορροπίας αποκολλάται η κάτω m2. Με ποια ταχύτητα φτάνει τότε αυτή στο δίσκο;

Β) Μόλις η m2 φτάσει στο δίσκο συγκρούεται πλαστικά με το σύστημα δίσκος – m1. Σε ποια απόσταση r από το κέντρο Κ του δίσκου πρέπει να συγκρουστεί η m2, ώστε η κινητική ενέργεια του συστήματος που περιστρέφεται να μεταβληθεί κατά 20%; Η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.

Γ) Μια επόμενη χρονική στιγμή t1 μετά την κρούση, με έναν εσωτερικό εκρηκτικό μηχανισμό η m1 εκτοξεύεται εφαπτομενικά με αρχική ταχύτητα υ1=80cm/s αντίθετης φοράς απ’ αυτή της περιστροφής του δίσκου. Ποια σταθερή εφαπτομενική δύναμη πρέπει να ασκήσουμε μετά την έκρηξη στην περιφέρεια του δίσκου, ώστε αυτός να σταματήσει να περιστρέφεται αφού διαγράψει γωνία θ=10π rad;

Δi) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του συστήματος τη στιγμή που εφαρμόζεται η δύναμη;
ii) Σε πόσο χρονικό διάστημα σταματάει η περιστροφή του συστήματος;
iii) Πόσες ταλαντώσεις πραγματοποιεί τότε η m2, που είναι δεμένη στο ελατήριο στο παραπάνω χρονικό διάστημα;
Τριβές δεν υπάρχουν. Δίνεται για το δίσκο Ιδ =0,5ΜR2 και ακόμη g=10m/s2 .

Συνοπτικήλύση:

Σάββατο, 19 Μαΐου 2012

32. Ράβδος_ κύλινδροι_ κεκλιμένο επίπεδο




Μια ράβδος μάζας Μ=12Kg στηρίζεται πάνω σε δυο όμοιους κυλίνδρους μάζας m=4Kg ο καθένας και ακτίνα r =4cm.
To σύστημα των σωμάτων βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ=300, όπως φαίνεται στο σχήμα και κινείται προς τα κάτω. Υποθέτοντας ότι οι κύλινδροι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν τότε, να υπολογιστούν:
α) Η επιτάχυνση της ράβδου,
β) Η γωνιακή επιτάχυνση του κάθε κυλίνδρου
γ) Η δύναμη που ασκείται μεταξύ του κάθε κυλίνδρου και της δοκού
δ) Η στατική τριβή ανάμεσα στον κάθε κύλινδρο και το κεκλιμένο επίπεδο
ε) Η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος μετά από χρόνο t=0,3s από τη στιγμή που ξεκίνησε η κίνησή του.
Δίνεται η ροπή αδράνειας κυλίνδρου μάζας m και ακτίνας r, Icm=1/2mr2 και g=10m/s2.




Πέμπτη, 17 Μαΐου 2012

30. Τροχός_ελατήριο_ράβδος

Στη διάταξη του σχήματος ο τροχός έχει μάζα Μ=0,6Κg και ακτίνα R=10cm. Στην περιφέρεια του τροχού είναι τυλιγμένο γύρω της, αβαρές νήμα στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα μάζας m=0,1Kg. Το σώμα μάζας m είναι επίσης δεμένο στο οριζόντιο ελατήριο του σχήματος σταθεράς Κ=90Ν/m. Επίσης σε απόσταση r=R/2 από το κέντρο του τροχού είναι δεμένο ένα δεύτερο νήμα, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο στο άκρο ράβδου μάζας Μρ=3 Κg και μήκους L=1m. Στο μέσο της ράβδου ασκείται κάθετα σε αυτή και με τη φορά που φαίνεται στο σχήμα δύναμη F=30N και η ράβδος  ισορροπεί σχηματίζοντας με την κατακόρυφο γωνία φ= rad με ημφ=0,6.
α) Αν αρχικά όλο το σύστημα ισορροπεί τότε να υπολογιστεί η τάση στα άκρα των δυο νημάτων.
β) Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει τη ράβδο με τον τροχό. Πόση είναι τότε η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου;
γ) Μόλις η ράβδος γίνει κατακόρυφη συγκρούεται με κατακόρυφο τοίχο. Ποια είναι η απώλεια κινητικής ενέργειας κατά την κρούση της ράβδου με τον τοίχο αν τελικά η ράβδος σταματά να περιστρέφεται;
δ) Μόλις η μάζα m τη χρονική στιγμή t0=0, φτάσει στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου, κόβεται και το νήμα που τη συνδέει με τον τροχό.
i) Ποια είναι η εξίσωση της α.α.τ που θα πραγματοποιήσει η μάζα m; Θεωρείστε την προς τα δεξιά φορά θετική.
ii) Ποια είναι η γωνιακή ταχύτητα του τροχού όταν η μάζα m πραγματοποιήσει μια ταλάντωση; Τριβές δεν υπάρχουν. Δίνεται για τον τροχό Ι=1/2Μ×R2 και για τη ράβδο Ιρ=1/3Μρ×L2 ακόμη g=10m/s2 .

Τετάρτη, 16 Μαΐου 2012

29. Τροχαλία_ελατήριο_ανακύκλωση



Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα m1=0,2Κg και ακτίνα R. Στην περιφέρεια της τροχαλίας είναι τυλιγμένο γύρω της, αβαρές νήμα στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα μάζας m=0,8Kg. Το σώμα μάζας m είναι επίσης δεμένο στο κατακόρυφο ελατήριο του σχήματος σταθεράς Κ=80Ν/m. Το άλλο άκρο του νήματος είναι δεμένο στο μέσο ράβδου μάζας Μ=0,6Κg και μήκους L=1m που αρχικά ισορροπεί σχηματίζοντας με την κατακόρυφο γωνία φ=450.
Το σύστημα αρχικά ισορροπεί.
α) Να υπολογίσετε την επιμήκυνση του ελατηρίου, για την αρχική ισορροπία του συστήματος,
β) Να υπολογίσετε τις δυνάμεις Ν και Ν΄ που ασκούνται στην τροχαλία και στη ράβδο αντίστοιχα από τους άξονες περιστροφής
γ) Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει την τροχαλία με τη ράβδο τότε,
i) Να υπολογίσετε την αρχική επιτάχυνση της μάζας m και
ii) Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου μόλις αυτή γίνει κατακόρυφη,
δ) Μόλις η ράβδος γίνει κατακόρυφη το κατώτερο σημείο της συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με αρχικά ακίνητη σημειακή μάζα m΄=0,2Κg. H m΄ τότε αρχίζει να ολισθαίνει και συναντάει κυκλική στεφάνη ακτίνας R1. Ποια μπορεί να είναι η μέγιστη ακτίνα της στεφάνης, ώστε η m΄ να κάνει ασφαλή ανακύκλωση; Τριβές δεν υπάρχουν. Δίνεται για την τροχαλία Ι=1/2×m1×R2 και για τη ράβδο Ιρ=1/12×Μ×L2 ακόμη g=10m/s2 και sqr2=1,4.





Δευτέρα, 14 Μαΐου 2012

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΦΩΤΟΣ (Ερωτήσεις δικαιολόγησης στη Γεωμετρική Οπτική)

Τετράγωνο και κρούση.


Ένα τετράγωνο πλαίσιο ΑΒΓΔ αποτελείται από τέσσερις λεπτές και ομογενείς ράβδους μάζας Μ=6Κg  η κάθε μία και μήκους L=1m. To τετράγωνο ισορροπεί οριζόντιο και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα xx΄ που διέρχεται γύρω από τα μέσα δύο απέναντι πλευρών του τετραγώνου. Από ύψος Η=0,8m  ακριβώς πάνω στην ίδια κατακόρυφο και πάνω από μία πλευρά του τετραγώνου που δεν διέρχεται ο άξονας περιστροφής αφήνεται ελεύθερη μία άλλη οριζόντια ράβδος που έχει ίδια μάζα και ίδιο μήκος με τις ράβδους του τετραγώνου. Η ράβδος συγκρούεται τελείως πλαστικά με το τετράγωνο σε αμελητέο χρόνο . Να βρεθούν:
Α)  Η ροπή αδράνειας του τετράγωνου γύρω από τον άξονα xx΄
Β) Την γωνιακή ταχύτητα του συστήματος αμέσως  μετά την πλαστική κρούση
Γ) Την μέγιστη κινητική ενέργεια του συστήματος
Δίνεται το Icm=1/12 ML2.

Κυριακή, 13 Μαΐου 2012

28. Lagrange και τροχαλία

Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ και ακτίνα R και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονα συμμετρίας της. Αβαρές σχοινί είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια της τροχαλίας και στο ελεύθερο άκρο της είναι δεμένο σώμα μάζας m. Τη χρονική στιγμή t0=0 αφήνουμε ελεύθερο το σώμα. Να βρεθεί η επιτάχυνση του σώματος.

Λύση:

Μια πλάγια πλαστική κρούση αλλά μετά τι;


Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Σ1 μάζας m1=1kg δεμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους ℓ0=0,6m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο σε σταθερό σημείο Ο. Σε απόσταση s=0,628m ηρεμεί ένα δεύτερο σώμα Σ2, της ίδιας μάζας, όπως στο σχήμα. Τα δύο σώματα θεωρούνται υλικά σημεία αμελητέων διαστάσεων. Μετακινούμε το σώμα Σ1 συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά 0,4m  και σε μια στιγμή t0=0 το αφήνουμε να ταλαντωθεί, ενώ ταυτόχρονα εκτοξεύουμε οριζόντια με ταχύτητα υ2 το σώμα Σ2. Μόλις το σώμα Σ1 φτάσει στην θέση ισορροπίας του, τα  δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά.
i)   Με ποια ταχύτητα κινήθηκε το σώμα Σ2 πριν την κρούση;
ii)  Να βρεθεί η ταχύτητα του συσσωματώματος Σ  αμέσως μετά την κρούση.
iii) Πόση είναι η απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση;
iv) Μετά από λίγο το ελατήριο έχει δυναμική ενέργεια 4J. Για τη θέση αυτή:
α)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του συσσωματώματος Σ.
β)  Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του Σ, ως προς κατακόρυφο άξονα που περνά από το άκρο Ο του ελατηρίου;
γ) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Ο, από τον φορέα της ταχύτητας του συσσωματώματος.

Σάββατο, 12 Μαΐου 2012

Και αν σπάσει ο άξονας;

Μια μη ομογενής ράβδος μήκους ℓ=4m και μάζας 6kg, μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Α. Στο άλλο άκρο της έχει δεθεί ένα σώμα Σ, που θεωρείται υλικό σημείο μάζας m=4kg. Έτσι έχουμε δημιουργήσει ένα στερεό S, με κέντρο μάζας Κ, όπου (ΚΒ)=1m. Φέρνουμε το στερεό σε οριζόντια θέση, όπως στο σχήμα και σε μια στιγμή το αφήνουμε να κινηθεί, οπότε η αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ είναι α0=12m/s2.  Το στερεό δεν παρουσιάζει τριβές με τον άξονα, ενώ g=10m/s2.
i)  Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του στερεού S, ως προς τον άξονα περιστροφής του.
Μετά από λίγο, η ράβδος σχηματίζει γωνία θ=30° με την οριζόντια διεύθυνση. Για την θέση αυτή, να βρεθούν:
ii)   Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του στερεού S
iii)  Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής του στερεού S, ως προς τον άξονα περιστροφής του.
iv)  Η στροφορμή και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής.
v)  Στην παραπάνω θέση, σπάει ο άξονας περιστροφής, οπότε το στερεό πέφτει ελεύθερα και κτυπάει στο έδαφος με το άκρο του Β και με τη ράβδο κατακόρυφη, χωρίς να έχει ολοκληρώσει μια περιστροφή. Πόσο χρόνο διαρκεί η ελεύθερη πτώση του στερεού;

27. Εξαναγκασμένη ταλάντωση

Ένα σώμα μάζας Μ=1 Kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=4 Ν/cm. Όταν το σώμα ταλαντώνεται ελεύθερα, ενεργεί πάνω του δύναμη αντίστασης της μορφής Fαντ= -0,2×υ (S.I). Για να διατηρείται το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος σταθερό και ίσο με A=20 cm, ασκούμε στο σύστημα εξωτερική περιοδική δύναμη μέσω του τροχού T, που τον στρέφουμε με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ωΤ=30 rad/s (σχήμα).

α. Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης x(t) και της ταχύτητας υ(t) της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θεωρώντας ότι τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο κατά τη θετική κατεύθυνση.
β. Να παραστήσετε γραφικά με το χρόνο και για το χρονικό διάστημα από t=0 έως t=2π/15 s το μέτρο της συνισταμένης δύναμης που ενεργεί στο σώμα κατά την εξαναγκασμένη ταλάντωσή του. Με ποια περίοδο μεταβάλλεται το μέτρο της συνισταμένης δύναμης;
γ. Να βρείτε την απόλυτη τιμή του ρυθμού απορρόφησης ενέργειας από τη δύναμη της αντίστασης σε συνάρτηση με το χρόνο. Ποια είναι η μέγιστη τιμή του ρυθμού αυτού;
δ. Αν αυξήσουμε τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού, τα πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή θα παραμείνει αμετάβλητο; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Τετάρτη, 9 Μαΐου 2012

Ακροβατώντας μεταξύ ενιαίου στερεού και ράβδων.


Διαθέτουμε τρεις όμοιες ομογενείς ράβδους μάζας m=3kg και μήκους ℓ=4/3m η καθεμιά. Τις ενώνουμε στα άκρα, σχηματίζοντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ (στερεό S). Το στερεό S, μπορεί να στρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από την κορυφή Α, ισορροπεί δε σε θέση όπου η πλευρά ΑΓ είναι κατακόρυφη, δεμένο με κατακόρυφο νήμα στην κορυφή Β. Το άλλο άκρο του νήματος είναι δεμένο στο υλικό σημείο Σ, το οποίο ηρεμεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=100Ν/m, όπως στο σχήμα.
i)  Να βρεθεί η τάση του νήματος μεταξύ της κορυφής Β και σώματος Σ.
Σε μια στιγμή κόβουμε το νήμα.
    ii) Να υπολογίστε τη ροπή αδράνειας  του στερεού S ως προς τον άξονα περιστροφής του.
iii) Να υπολογίστε τις αρχικές επιταχύνσεις της κορυφής Β και του μέσου Μ της πλευράς ΒΓ. Να σχεδιάστε στο σχήμα τις παραπάνω επιταχύνσεις.
iv) Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της στροφορμής των ράβδων ΑΓ και ΒΓ, αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος.
v)  Να βρεθεί η μέγιστη κινητική ενέργεια του στερεού S.
vi) Να υπολογιστεί η μέγιστη κινητική ενέργεια του σώματος Σ.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ιcm=m2/12 και g=10m/s2.

Τρίτη, 8 Μαΐου 2012

26. Σύστημα οδοντωτών τροχών


Η διάταξη του σχήματος αποτελείται από δυο οδοντωτούς τροχούς.  Ο πιο μεγάλος  έχει ροπή αδράνειας
Ι1=18×10-2Κg×m2 και ακτίνα R=0,4m. Ο μικρός τροχός έχει Ι2=2×10-2Κg×m2 και ακτίνα r=0,2m. Γύρω από τo μεγαλύτερο τροχό και σε απόσταση r=0,2m υπάρχει ένα αυλάκι, γύρω από το οποίο είναι τυλιγμένο αβαρές σχοινί. Στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού είναι δεμένο ένα σώμα μάζας m1=13/8 =Kg.
Κάποια στιγμή αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο.
α) Αν το νήμα ξετυλιχθεί κατά L=1m, τότε να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα ω1 του μεγαλύτερου οδοντωτού τροχού
β) Ποιος είναι ο ρυθμός προσφερόμενης ενέργειας εκείνη τη στιγμή
γ) Να υπολογιστεί η τάση του νήματος.
δ) Να υπολογιστεί η συνολική ροπή σε κάθε τροχό
ε) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση της μάζας m1 με τους Νόμους του Newton.
Δίνεται g=10m/s2.

Δώδεκα ερωτήσεις για επανάληψη

Οι ερωτήσεις ΕΔΩ

Οι απαντήσεις ΕΔΩ

Δευτέρα, 7 Μαΐου 2012

Κίνηση κυλίνδρου σε λείο επίπεδο με χρήση αβαρούς τροχαλίας.


Γύρω από έναν κύλινδρο μάζας Μ=26,4kg και ακτίνας R=1m έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα, το οποίο αφού περάσει από μια αβαρή τροχαλία, στο άλλο του άκρο κρέμεται ένα σώμα Σ μάζας m=10/9 kg. Ο κύλινδρος συγκρατείται ακίνητος σε λείο οριζόντιο επίπεδο και το νήμα σχηματίζει γωνία θ με την οριζόντια διεύθυνση, όπου ημθ=0,6 (συνθ=0,8). Σε μια στιγμή αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί. Η τροχαλία έχει ακτίνα r=0,1m και το κέντρο της Κ απέχει 1m από το οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται και στο σχήμα.
i)  Να εξηγείστε γιατί ο κύλινδρος θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση. Να εξετάσετε αν πρόκειται:
α)  να ολισθήσει,    β) να κυλήσει           γ) να «σπινάρει»
ii) Να βρείτε μια σχέση που να συνδέει την αρχική επιτάχυνση του άξονα Ο του κυλίνδρου με την επιτάχυνση του σώματος Σ.
iii)  Να υπολογίσετε την αρχική επιτάχυνση του σώματος Σ.
iv) Να βρεθεί ο αρχικός ρυθμός μεταβολής της στροφορμής:
α) Του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής  του.
β) Του συστήματος κύλινδρος-σώμα Σ, ως προς το άξονα περιστροφής της τροχαλίας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.

Κυριακή, 6 Μαΐου 2012

25. Τροχαλία_ελατήριο_ράβδος

Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ=2Κg και ακτίνα R=20cm. Σε απόσταση r= από το κέντρο της υπάρχει ένα αυλάκι το οποίο είναι τυλιγμένο με αβαρές νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα μάζας m1=1Kg. Το σώμα μάζας m1 είναι επίσης δεμένο στο κατακόρυφο ελατήριο του σχήματος σταθεράς Κ=100Ν/m. Στην περιφέρεια της τροχαλίας είναι επίσης τυλιγμένο γύρω της, αβαρές νήμα στο ελεύθερο άκρο του οποίου είναι δεμένο σώμα μάζας m2=1Kg.
Το σύστημα αρχικά ισορροπεί.

α) Να υπολογίσετε την επιμήκυνση του ελατηρίου, για την αρχική ισορροπία του συστήματος,
β) Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα που συνδέει τη m1 με την τροχαλία, τότε:
i) Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης που πραγματοποιεί η m1 και
ii) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση της m2,
γ) Η m2 αφού διανύσει απόσταση h=0,4m σπάει το νήμα που τη συνδέει με την τροχαλία και συγκρούεται πλαστικά, χτυπώντας στο άκρο οριζόντιας ράβδου. Η ράβδος έχει μάζα mρ=3 Kg, μήκος L=1m. Ακόμη στηρίζεται στο κέντρο της Κ1, σε τριγωνική βάση ενώ μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα χωρίς τριβές. Τότε,
i) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση όταν το σύστημα ράβδος – m2, έχει περιστραφεί κατά 1800 και
ii) Να υπολογιστεί η γωνία στροφής για την οποία το σύστημα ράβδος – m2 ηρεμεί στιγμιαία.

Συνοπτική λύση:

Σάββατο, 5 Μαΐου 2012

Μια κρούση σώματος με οριζόντιο κυκλικό τραπέζι.


Ένα τραπέζι σχήματος δίσκου, μάζας Μ=19,5kg και ακτίνας R=0,4m στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα z, ο οποίος περνά από το κέντρο του Ο, όπως στο διπλανό σχήμα, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Πάνω από το τραπέζι συγκρατείται ένα σώμα Σ, αμελητέων διαστάσεων, μάζας m=1kg, το οποίο είναι δεμένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100Ν/m και φυσικού μήκους ℓ0=0,2m. Το ελατήριο κρέμεται από σημείο Κ, το οποίο απέχει 0,3m από το τραπέζι, ο άξονάς του απέχει 0,2m από τον άξονα z και στη θέση αυτή έχει το φυσικό μήκος του. Αφήνουμε το σώμα τη στιγμή t0=0, να κινηθεί και προσκολλάται στο τραπέζι. Αν αμέσως μετά την κρούση το σώμα Σ έχει ταχύτητα υ1=0,6m/s, ζητούνται:
i)   Η επιτάχυνση και η ταχύτητα του σώματος Σ, ελάχιστα πριν την κρούση.
ii) Η μεταβολή της ορμής του σώματος Σ που οφείλεται στην πλαστική του κρούση με το τραπέζι. Ποια η αντίστοιχη μεταβολή της στροφορμής του ως προς (κατά) τον άξονα z;
iii) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του σώματος Σ, τη στιγμή που θα έχει εκτελέσει μισή περιστροφή.
iv) Η γωνία κατά την οποία στρέφεται το τραπέζι από τη στιγμή t0=0, μέχρι τη στιγμή της κρούσης.
Δίνεται ότι παρόλη την κρούση το τραπέζι δεν παύει να στρέφεται γύρω από τον ίδιο κατακόρυφο άξονα z χωρίς να «παλαντζάρει», η ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα z  Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.

Παρασκευή, 4 Μαΐου 2012

Δύο κύλινδροι σε επαφή


Δύο  κύλινδροι μαζών m1, m2 έχουν τους άξονές τους κατακόρυφους. Ο δίσκος 1 περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω ενώ ο δίσκος 2 δεν περιστρέφεται. Φέρουμε σε επαφή τους δίσκους, οπότε λόγω τριβής, τίθεται σε περιστροφή και ο δίσκος 2. Mετά από χρόνο t , οι γωνιακές ταχύτητες των κυλίνδρων σταθεροποιούνται σε ω1 και ω2. Αν η ροπή αδράνειας κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του δίνεται από τη σχέση Ιcm= ½ mr2 να βρείτε :
1)  Τις γωνιακές ταχύτητες ω1 και ω2 .
2)  Την απώλεια ενέργειας του συστήματος σε θερμότητα.
3)  Τη ροπή που ασκήθηκε σε κάθε κύλινδρο
4) Την συνολική στροφορμή του συστήματος ως προς το σημείο επαφής τους, πριν την επαφή τους  και μετά από χρόνο t. Τι παρατηρείτε;
5)  Τον αριθμό στροφών που έκανε ο κάθε  κύλινδρος.
Δίνονται : ω, m1, m2, r1,r2 ,t.   Εφαρμογή:ω=40rad/s, m1=1kg, m2=4kg, r1=0.1m, r2=0.2m,t=10s.

Δέκα δεύτερα θέματα με ανορθόδοξη διατύπωση.

Πρόκειται για ιδέες που με επεξεργασία δίνουν δεύτερα θέματα.
Σύντομα θα στείλω απαντήσεις.
Συνέχεια.

Μια σανίδα σε παγωμένη λίμνη.


Σε μια παγωμένη λίμνη ηρεμεί μια σανίδα μήκους ℓ=6m και μάζας 8kg. Σε μια στιγμή, t=0, ασκούμε πάνω της δυο οριζόντιες παράλληλες σταθερού μέτρου δυνάμεις F1=F2=12π Ν, όπως στο σχήμα, όπου (ΜΒ)= 1,5m, οι οποίες παραμένουν συνεχώς κάθετες στη σανίδα.
i) Η σανίδα θα περιστραφεί οριζόντια γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος περνά από το:
α) Το άκρο Α,        β) Το μέσον της Ο,   γ) Το μέσον της ΜΒ.
ii)  Να βρείτε τις ταχύτητες (μέτρο και κατεύθυνση) του μέσου Ο και του άκρου Β τη στιγμή t1=2s.
iii) Για τη στιγμή t1 να βρεθούν:
 α) Η στροφορμή της σανίδας και ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της, ως προς   κατακόρυφο άξονα που περνά από το μέσον της Ο.
 β) Η κινητική ενέργεια και ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σανίδας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς ράβδου, ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της  Ι=Μ2/12.

Πέμπτη, 3 Μαΐου 2012

Τροχαλία-Ισορροπία-ΑΑΤ.

ΘΕΜΑ Δ
Ιδανικό ελατήριο σταθεράς K=100N/m έχει τον άξονά του παράλληλα σε λείο πλάγιο επίπεδο κλίσης θ. Το άνω άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ενώ στο  κάτω άκρο είναι δεμένο μικρό σώμα Σ1 μάζας m=1Kg.
Ομογενής κυκλικός τροχός Τ μάζας Μ=2m έχει τον άξονά του δεμένο στο σώμα Σ1 μέσω αβαρούς νήματος που δεν επηρεάζει την περιστροφή του και είναι παράλληλο στο πλάγιο επίπεδο. Στην περιφέρεια του τροχού Τ έχει τυλιχθεί αβαρές μη εκτατό νήμα από το οποίο κρέμεται μικρό σώμα Σ2 μάζας m=1kg. Ο τροχός Τ εφάπτεται σε κατακόρυφο επίπεδο με το οποίο εμφανίζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.
Το σώμα Σ­ και άξονας του τροχού ισορροπούν. Το σώμα Σ2 επιταχύνεται κατακόρυφα προς τα κάτω με επιτάχυνση μέτρου α=2m/s2 περιστρέφοντας τον τροχό. Το νήμα δε γλιστρά στην επιφάνεια του τροχού.
Η ροπή αδρανείας του τροχού ως προς τον άξονά του είναι  Ι=ΜR2. Όλες οι κινήσεις γίνονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα. Δίνεται : g=10m/s2, ημθ=0,8, συνθ=0,6
Δ1.  Να υπολογίσετε το μέτρο και τη φορά της δύναμης τριβής μεταξύ του τροχού Τ και του κατακόρυφου επιπέδου.
Δ2.  Να υπολογίσετε το συντελεστή τριβής ολίσθησης μ.
Δ3.  Να υπολογίσετε την αύξηση της κινητικής ενέργειας του συστήματος τροχός Τ-σώμα Σ2 για κάθε μέτρο νήματος που ξετυλίγεται.
Δ4.  Κόβουμε το νήμα που συνδέει τον άξονα του τροχού με το σώμα Σ1. Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του σώματος Σ1.


Άνοδος σφαίρας σε κεκλιμένο επίπεδο.

Δύο όμοιες σφαίρες κυλίονται (χωρίς να ολισθαίνουν) σε οριζόντιο επίπεδο με την ίδια ταχύτητα κέντρου μάζας υ0. Στην πορεία τους συναντούν δύο κεκλιμένα επίπεδα, στα οποία συνεχίζουν να ανέρχονται. Η Α σφαίρα ανεβαίνει στο πρώτο επίπεδο που είναι λείο, ενώ η Β συνεχίζει να κυλίεται κατά μήκος του δεύτερου.
Σε μεγαλύτερο ύψος θα φτάσει:
   i) Η Α σφαίρα.
   ii)  Η Β σφαίρα.
   iii) Οι δυο σφαίρες θα φτάσουν στο ίδιο ύψος.

Τετάρτη, 2 Μαΐου 2012

24. Τροχαλία και ελατήριο

Η τροχαλία του σχήματος αποτελείται από δυο συγκολλημένους δίσκους με ακτίνες R=20cm και r=10cm που έχουν κοινό άξονα. Οι δίσκοι περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από τον κοινό τους άξονα και έχουν συνολική ροπή αδράνειας Ι=4×10-2Kg×m2. Τα αβαρή σχοινιά που είναι τυλιγμένα στους δίσκους, έχουν στα ελεύθερα άκρα τους δεμένα τα σώματα με μάζες m1=4Kg και m2=2Kg. Το σώμα μάζας m1, είναι επίσης δεμένο σε οριζόντιο αβαρές ελατήριο Κ=100Ν/m και μπορεί να κινείται στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές. Κάποια στιγμή εξασκούμε στο σύστημα την οριζόντια δύναμη F=80N που φαίνεται στο σχήμα. Τότε:
α) Για ποια επιμήκυνση του ελατηρίου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας γίνεται μέγιστη;
β)i) Πόση είναι τότε η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος;
ii) Ποιος είναι τότε ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος των μαζών;
Αν εκείνη τη στιγμή που η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας γίνεται μέγιστη κοπεί το νήμα που συνδέει τη μάζα m1 με την τροχαλία, τότε
γ)i) Nα υπολογιστεί η επιτάχυνση α2 της μάζας m2 καθώς και η τάση του νήματος που συνδέει την m2 με την τροχαλία
ii) Nα υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήματος τροχαλία – m2;
δ)i) Ποια είναι η ενέργεια ταλάντωσης της μάζας m1 και
ii) Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της m1 καθώς αυτή ταλαντώνεται; Δίνεται g=10m/s2.

Συνοπτική λύση:

Ταλάντωση και δυο ελαστικές κρούσεις.


Τα σώματα Β και Γ, τα οποία θεωρούμε υλικά σημεία, αμελητέων διαστάσεων, με μάζες m1=1kg και m2=3kg ηρεμούν σε επαφή σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το Β είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=400Ν/m, όπως στο σχήμα. Μετακινούμε τα σώματα προς τα αριστερά, συμπιέζοντας το ελατήριο κατά 0,4m και τη στιγμή t0=0, αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί.
i)   Ποια η αρχική επιτάχυνση που θα αποκτήσουν τα σώματα και ποιο το μέτρο της δύναμης που ασκεί το Β στο Γ σώμα;
ii)  Ποια χρονική στιγμή τα δυο σώματα θα χάσουν την επαφή;
iii) Το σώμα Γ αφού συγκρουστεί ελαστικά με τον κατακόρυφο τοίχο, ξανασυγκρούεται ελαστικά με το σώμα Α τη στιγμή t2= 3π/20s. Ποια η αρχική απόσταση d του σώματος Γ από τον τοίχο;
iv) Να παρασταθεί γραφικά η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Β σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη χρονική στιγμή t3=π/5s.

Τρίτη, 1 Μαΐου 2012

Γενικό διαγώνισμα 2011-12

ΘΕΜΑ Δ
Στο παρακάτω σχήμα το σώμα έχει μάζα m=1/π kgr  ο κύλινδρος  που έχει μάζα Μ1=2kg και  ακτίνα R1= 1m είναι στερεωμένος με κατάλληλο υποστήριγμα έτσι ώστε να μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα. Πάνω στον κύλινδρο είναι κολλημένη ράβδος μήκους L= 2m και μάζας M2=3Kg με το ένα της άκρο να βρίσκεται στο κέντρο του κυλίνδρου.
Η ράβδος ισορροπεί κατακόρυφα .Το ελατήριο  έχει σταθερά Κ=100/π Ν/m και βρίσκεται στο φυσικό του μήκος με το νήμα να είναι τεντωμένο και δεμένο στο ανώτερο σημείο του κυλίνδρου. Με την βοήθεια  κατάλληλης δύναμης αρχίζουμε να περιστρέφουμε το σύστημα επιμηκύνοντας το ελατήριο   με το νήμα να τυλίγεται στον κύλινδρο μέχρι η ράβδος  να περιστραφεί κατά 90ο .
Να βρεθούν:
Α)  Το μέτρο της δύναμης που  πρέπει ασκούμε κάθετα στην ράβδο  αν το σύστημα ισορροπεί μετά από την διαγραφή των 90ο .                                            
Όταν το σύστημα έχει διαγράψει γωνία 90ο και το σύστημα ισορροπεί  το νήμα κόβεται και η εξωτερική δύναμη καταργείται.
Β)  Πόση μέγιστη ταχύτητα θα αποκτήσει το σώμα m και πόση μέγιστη γωνιακή ταχύτητα που  θα αποκτήσει το σύστημα κυλίνδρου-ράβδου;
Γ)  Ποιο από τα δύο συστήματα θα αποκτήσει πρώτο την μέγιστη κινητική ενέργεια.
Δίνονται για τον κύλινδρο Ι=0,5Μ1·R12   για την ράβδο  Ι=1/3Μ2·L2  και π=3,14

Δείτε όλα τα θέματα από εδώ.