Τετάρτη, 31 Μαρτίου 2010

Φαινόμενο Doppler, συχνότητες και μήκη κύματος.

Ένα τρένο κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα υs=34m/s. Πάνω του υπάρχει μια ηχητική πηγή που παράγει ήχο συχνότητας fs=680Ηz, ενώ δυο επιβάτες Α και Β βρίσκονται εναλλάξ της πηγής, όπως στο σχήμα, ακίνητοι ως προς το τρένο.
i)  Ποιας συχνότητας ήχο ακούει καθένας επιβάτης;
ii)  Να βρεθεί το μήκος κύματος του ήχου που ακούνε οι δυο επιβάτες.
Δίνεται η ταχύτητα του ήχου υ=340m/s.

Ελαστική κρούση δυο σωμάτων, το ένα δεμένο σε ελεύθερο οριζόντιο ελατήριο

Το σώμα Σ2 του σχήματος μάζας m2 , ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 400 N/m.

Ολόκληρη η εκφώνηση και η λύση ΕΔΩ

Μια Κρούση και μια Ταλάντωση

Μια σφαίρα μάζας m=1kg εκτοξεύεται για t=0 με ταχύτητα υ1 από το σημείο Β, το οποίο απέχει απόσταση s=3m από ακίνητο σώμα Σ, το οποίο ηρεμεί δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=20Ν/m. 
Μετά από λίγο η σφαίρα συγκρούεται μετωπικά με το σώμα Σ, το οποίο μετά την κρούση εκτελεί α.α.τ. με εξίσωση:
x=(2/π) ημ(πt-π) (μονάδες S.Ι.).
Αν το επίπεδο είναι λείο και η διάρκεια της κρούσεως αμελητέα, η προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική, ενώ π2≈10, ζητούνται:
i)   Η ταχύτητα υ1 της σφαίρας.
ii)  Ποια χρονική στιγμή η σφαίρα θα ξαναπεράσει από το σημείο Β.
iii)  Πόσο θα απέχουν μεταξύ τους τη στιγμή αυτή τα δύο σώματα;

Κρούση τριών κύβων


Οι τρεις κύβοι Α, Β, Γ του σχήματος , έχουν ίσες διαστάσεις και μάζες m1 = m2 = m3 = m.
Ο κύβος Γ ηρεμεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ το σύστημα των κύβων Α και Β, κινείται οριζόντια χωρίς τριβές με ταχύτητα μέτρου vo = 12 m/s.
Ο κύβος Α προσκρούει μετωπικά στον κύβο Γ. Μετά την πρόσκρουση οι κύβοι Α και Γ , ενώνονται και κινούνται ως συσσωμάτωμα , ενώ ο κύβος Β, περνά πάνω στον κύβο Γ όπου και παραμένει.
Η θερμική ενέργεια που παράγεται κατά την ολίσθηση του κύβου Β μέχρι να περάσει ολόκληρος πάνω στον κύβο Γ, είναι Q = 72 j.
Να υπολογίσετε:
1. Την τελική ταχύτητα του συστήματος.
2. Τις μάζες των κύβων.
3. Τη θερμική ενέργεια που εκλύεται κατά την πρόσκρουση του κύβου Α στον κύβο Γ.
4. Το κλάσμα της αρχικής κινητικής ενέργειας του συστήματος των κύβων Α-Β που γίνεται θερμική ενέργεια κατά την διάρκεια του φαινομένου.
Δεχόμαστε ότι η απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά την διάρκεια του φαινομένου οφείλεται σε μετατροπή της σε θερμική ενέργεια.

Τρίτη, 30 Μαρτίου 2010

Ενέργεια Ταλάντωσης και Ελαστική κρούση.

Μια πλάκα μάζας Μ=4kg ηρεμεί στο πάνω άκρο ενός κατακόρυφου ελατηρίου, σταθεράς k=250Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου στηρίζεται στο έδαφος. Εκτρέπουμε κατακόρυφα την πλάκα κατά α, οπότε στη θέση αυτή απέχει κατακόρυφη απόσταση h=1m από μια σφαίρα μάζας m1=1kg. Σε μια στιγμή αφήνουμε ταυτόχρονα την πλάκα και τη σφαίρα να κινηθούν.
Αν τα δυο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά μετά από χρονικό διάστημα 0,4s, ζητούνται:
i)   Οι ταχύτητες των σωμάτων ελάχιστα πριν και ελάχιστα μετά την κρούση.
ii)  Η ενέργεια ταλάντωσης της πλάκας πριν και μετά την κρούση.
Δίνεται ότι η κίνηση της πλάκας είναι απλή αρμονική ταλάντωση, π2=10 και g=10m/s2.

Βλήμα σφηνώνεται σε ξύλο. Πόσο μετατοπίζεται το ξύλο;



Ξύλινο κιβώτιο μάζας M=1,95kg ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Σφαίρα μάζας m=0,05kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ=400m/sec σφηνώνεται στο ξύλο σε βάθος d=20cm.
Ζητούνται:
1. Η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση.
2. Η μέση δύναμη που ασκεί η σφαίρα στο ξύλο καθώς εισχωρεί σ' αυτό, καθώς και το διάστημα που διανύει το ξύλο μέχρι τη στιγμή που η σχετική ταχύτητα σφαίρας - ξύλου μηδενίζεται.
3. Η χρονική διάρκεια της κρούσης.
Απάντηση

Μια ταλάντωση σε πλάγιο επίπεδο και κρούση.

Το σώμα Α μάζας m1=2kg ηρεμεί σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσεως θ=30°, δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς Κ=200Ν/m. Το σώμα Α δεν εμφανίζει τριβές με το επίπεδο. Μετακινούμε το σώμα συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά d=0,5m και το αφήνουμε να κινηθεί.
1)   Να αποδειχθεί ότι το σώμα Α θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
2)   Πόση ενέργεια καταναλώσαμε για την μετακίνηση του σώματος Α κατά d.
3)  Μετά από μετατόπιση του σώματος Α κατά s=0,9m, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με άλλο σώμα Β μάζας m2=1kg, το οποίο ήταν ακίνητο. Μετά την κρούση το σώμα Β διανύει απόσταση 0,8m κατά μήκος του επιπέδου.
i)   Να βρεθεί η τριβή που ασκήθηκε στο σώμα Β κατά την κίνησή του.
ii)  Να υπολογισθεί η ενέργεια ταλάντωσης του σώματος Α μετά την κρούση.
iii) Να εξετασθεί αν τα δύο σώματα θα ξανασυγκρουσθούν.
Δίνεται g=10m/s2.

Μια ερώτηση: Πλαστική κρούση και α.α.τ.

Ένας δίσκος μάζας Μ ηρεμεί στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, θέση Ο, όπως στο σχήμα. Από ορισμένο ύψος h αφήνεται να πέσει μια  σφαίρα Α μάζας m και να συγκρουσθεί πλαστικά με το δίσκο. Αντίσταση αέρα δεν υπάρχει.
Χαρακτηρίστε σαν σωστές  ή λαθεμένες  τις παρακάτω προτάσεις:
i)     Το σύστημα θα εκτελέσει α.α.τ. γύρω από τη θέση Ο.
ii)    Η μέγιστη ταχύτητα του συστήματος θα είναι στη θέση Ο.
iii)   Αμέσως μετά την κρούση η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με μηδέν.
iv)   Η ενέργεια ταλάντωσης θα είναι μεγαλύτερη από m2g2/2k.
v)    Αν Μ=3m, τότε η ενέργεια ταλάντωσης του συστήματος θα είναι ίση με 1/4mgh.
  

Μετατροπή ολίσθησης σε κύλιση.

Μια σφαίρα εκτοξεύεται σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα κέντρου μάζας υ0 και χωρίς γωνιακή ταχύτητα.
i) Να βρεθεί ο χρόνος που απαιτείται μέχρι να πάψει η ολίσθηση της σφαίρας, σε συνάρτηση με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης μεταξύ σφαίρας και επιπέδου.
ii)   Ποια η τελική ταχύτητα υcm που αποκτά η σφαίρα;
Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς μια διάμετρό της Ι=2mR2/5.

Δευτέρα, 29 Μαρτίου 2010

Κοινή ταχύτητα και πλαστική κρούση.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί σανίδα μάζας Μ= 3kg και μήκους 4m. Από το ένα άκρο της εκτοξεύ­ουμε πάνω της σώμα Σ,αμελητέων διαστάσεων, μάζας m=1kg με ταχύτητα υ0=4m/s. Αν το μισό τμήμα της σανίδας Α, δεν πα­ρουσιάζει τριβή με τη σφαίρα, ενώ το άλλο μισό Β παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,4 ζητούνται:
i)    Ποια η ταχύτητα της σανίδας, όταν σταματήσει πάνω της το σώμα Σ;
ii)   Πόση απόσταση θα διανύσει το σώμα Σ στο τμήμα Β μέχρι να σταματήσει και βρείτε επίσης την απόσταση που δια­νύει η σανίδα μέχρι να σταματήσει να κινείται πάνω της το σώμα Σ,
iii)  Υπολογίστε τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται στα σώματα. Υι  ενεργειακές μετατροπές μετράνε τα έργα αυτά;
iv) Ένα σώμα μάζας m=1kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας Μ=3kg. Ποια η κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος και ποια η απώλεια της Μηχανικής ενέργειας που οφείλεται στην κρούση;
  Δίνεται: g=10m/s2..

Απώλεια μηχανικής ενέργειας στην Πλαστική κρούση.

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα σώμα Α μάζας Μ. Σε μια στιγμή ένα βλήμα μάζας m που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ0, σφηνώνεται στο σώμα Α.
i)   Να αποδειχτεί ότι κατά την κρούση παρουσιάζεται απώλεια κινητικής ενέργειας.
ii)  Να υπολογίσετε το ποσοστό επί τοις % της αρχικής κινητικής ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμότητα.
iii)  Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή του παραπάνω ποσοστού;

Κρούση ράβδου-δίσκου-Μεγιστη γωνία στροφής

Σε συνέχεια της ανάρτησης του Μανώλη Δρακάκη "Κρούση ράβδου-δίσκου" παραθέτω το παρακάτω ερώτημα.

---------------------------------------------------------------------------------------------

(ε) Να βρεθεί η γωνία στροφής του συστήματος μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητά του για πρώτη φορά.





Ποσοστό μεταφοράς Κινητικής Ενέργειας στην ελαστική κρούση.

Μια σφαίρα με μάζας m1=1kg κινείται με ταχύτητα υ1=10m/s  και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με μια άλλη σφαίρα Β μάζας m που αρχικά είναι ακίνητη.
Α) Να βρεθεί το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας που μεταφέρεται στην Β, σε συνάρτηση με τη μάζα της Β σφαίρας.
Β) Σε ποια περίπτωση το ποσοστό αυτό είναι:
α) Μέγιστο 
β) Ελάχιστο.

Κρούση σφαίρας με τοίχο.

Το σχολικό βιβλίο όταν μελετά την πλάγια κρούση μιας σφαίρας με τοίχο, λέει:
"Η δύναμη που ασκείται στη σφαίρα κατά την κρούση είναι κάθετη στον τοίχο....."
Η πρόταση υπονοεί ότι δεν υπάρχει τριβή μεταξύ σφαίρας και τοίχου;
Πάντως δεν το λέει...
Η αλήθεια πάντως είναι ότι για να μην μεταβληθεί η συνιστώσα της ταχύτητας υy δεν πρέπει να υπάρχει τριβή.
Άλλωστε για να είναι η κρούση ελαστική θα πρέπει στη διάρκειά της να ασκούνται μόνο ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ δυνάμεις και η τριβή δεν είναι συντηρητική δύναμη.
Μπορείτε να δείτε σε μια προσομοίωση τι συμβαίνει σε μια πλάγια κρούση σφαίρας με τοίχο, όταν υπάρχει τριβή και όταν δεν υπάρχει. ΕΔΩ.

Μοντελοποίηση της Πλαστικής και της Ελαστικής κρούσης.

Ένα σώμα Α μάζα m1=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ1=10m/s και προσπίπτει στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου σταθεράς Κ=750Ν/m και φυσικού μήκους 0,5m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε δεύτερο σώμα Β m2=3kg, το οποίο είναι ακίνητο.
Ζητούνται:
α)  Η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων.
β)  Η μέγιστη επιτάχυνση που αποκτά το σώμα Β.
γ)  Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Β, τη στιγμή που έχει μέγιστη επιτάχυνση.
δ) Οι τελικές ταχύτητες των δύο σωμάτων.

Πλαστική κρούση και τάση του νήματος.

Σώμα Σ μάζας 950g κρέμεται από νήμα μήκους 2,5m. Βλήμα μάζας 50g που κινείται οριζό­ντια με ταχύτητα 100m/s σφηνώνεται στο Σ.
α)  Ποια η ελάχιστη τιμή του ορίου θραύσης του νήματος, ώστε αυτό να μην σπάσει;
β)  Ποια η ελάχιστη τιμή της τάσης του νήματος;
γ)  Ποιο το ποσοστό της ενέργειας που έγινε θερμότητα κατά την κρούση; g=10m/s2.

Ελαστική κρούση και δυναμική ενέργεια

Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο κινούνται δύο σώματα Α και Β, με μάζες 2kg και 3kg αντίστοιχα και ταχύτητες ίσων μέτρων 5m/s, όπως στο σχήμα. 
Τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά.
i) Ποιες οι ταχύτητας των δύο σωμάτων μετά την κρούση;
ii) Σε μια στιγμή στη διάρκεια της κρούσης, το σώμα Α σταματά στιγμιαία.
a) Ποια η ταχύτητα του Β σώματος τη στιγμή αυτή;
b) Πόση είναι τη στιγμή αυτή η δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης των δύο σωμάτων;

Κυριακή, 28 Μαρτίου 2010

Συμβολή κυμάτων στην επιφάνεια υγρού.

Δύο σύγχρονες  πηγές κυμάτων δημιουργούν στην επιφάνεια ενός υγρού εγκάρσια κύματα τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα u=1m/sec. Tην στιγμή t=0 οι πηγές Ο1  & Ο2 αρχίζουν  να ταλαντώνονται κατακόρυφα με εξισώσεις  ψ12=0,2ημ2πt (S.I.). Δύο σημεία Α και Β της επιφάνειας του υγρού βρίσκονται σε τέτοιες θέσεις ώστε να μπορούν να σχηματίζουν ορθογώνια τρίγωνα Ο1ΑΟ2 και Ο1ΒΟ2.H απόσταση Ο1Ο2 είναι 10m  και  οι αποστάσεις Ο1Α=6m  και  Ο1B= 8m.
A)  Nα βρεθούν πόσες υπερβολές ενίσχυσης  και πόσες υπερβολές  απόσβεσης  βρίσκονται ανάμεσα στο  ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το τέμνουν.
Β)  Να παρασταθεί  γραφικά η φάση του σημείoυ  Α σε συνάρτηση με τον χρόνο.
Γ)  Να γραφεί η εξίσωση  ταχύτητας ταλάντωσης  του σημείου Α σε συνάρτηση με τον χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.
Δ)  Να βρεθεί πόσες φορές το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Α είναι υ=0,4πm/sec  μέχρι την στιγμή t4=9sec.

Aπάντηση:

Ένα σύνθετο 4° θέμα

Η ομογενής τροχαλία του σχήματος μάζας M = 4kg και ακτίνας R = 2m μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές περί ακλόνητου άξονα που περνά από το κέντρο της. Σημειακό σώμα  μάζας m1= 3kg  συνδέεται με αυτήν μέσω αβαρούς μη εκτατού νήματος που είναι τυλιγμένο στην περιφέρειά της. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί και το σώμα Σ1 απέχει ύψος H από το έδαφος. Σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται ιδανικό ελατήριο με το ένα άκρο ακλόνητα στερεωμένο, στο ελεύθερο άκρο του συνδέεται σημειακό σώμα Σ2 άγνωστης μάζας. Η διάταξη κρατιέται σε ισορροπία ενώ το ελατήριο είναι συσπειρωμένο κατά A από τη θέση φυσικού μήκους.
Α. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ1 και το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει στην επιφάνεια της τροχαλίας.
Α1. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος τροχαλία- σημειακό σώμα Σ1
Μονάδες 5
Α2. Αν το σώμα Σ1 συναντά το οριζόντιο δάπεδο σε χρονικό διάστημα Δt= 1s να υπολογίσετε το ύψος H .
Μονάδες 7
Β. Μόλις το σώμα Σ1 συναντά το οριζόντιο δάπεδο ακινητοποιείται στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Αφήνουμε ελεύθερο το σώμα Σ2 και όταν συναντήσει το σώμα Σ1 συγκρούεται ελαστικά με αυτό. Μετά την κρούση το πλάτος ταλάντωσης υποδιπλασιάζεται.
Β1. Να υπολογίσετε τις πιθανές τιμές της μάζας του σώματος Σ2.
Μονάδες 6
Β2. Αν η κρούση των σωμάτων είναι πλαστική, το πλάτος ταλάντωσης επίσης υποδιπλασιάζεται. Να υπολογίσετε την μάζα του σώματος Σ2.
Μονάδες 7
Η ροπή αδρανείας της τροχαλίας περί του άξονα περιστροφής είναι Ιcm = ½ MR2 . Για τις πράξεις θεωρείστε g=10m/s2.

Ένα μονωμένο σύστημα με ένα ελατήριο.

Ένα σώμα Α μάζα m1=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ1=14m/s και προσπίπτει στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε δεύτερο σώμα Β m2=5kg, το οποίο είναι ακίνητο. Σε μια στιγμή μετά από ελάχιστο χρόνο το σώμα Β έχει ταχύτητα υ2΄=6m/s και επιτάχυνση α2=4m/s2.
Ζητούνται για τη στιγμή αυτή:
α)  Η ταχύτητα του σώματος Α και
β)  Η επιτάχυνση του Α σώματος.
γ)  Η ενέργεια του ελατηρίου.
Απάντηση:

Μια πλάγια ελαστική κρούση.

Μια σφαίρα Α κινείται με ταχύτητα υ σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται με ακίνητη σφαίρα Β, ίσης μάζας όπως στο σχήμα. Στο σχήμα βλέπετε τις συνιστώσες της ταχύτητας, υx στη διεύθυνση της διακέντρου των δύο σφαιρών και υy σε κάθετη διεύθυνση. 
Χαρακτηρίστε σαν σωστές ή λαθεμένες τις παρακάτω προτάσεις.
α)  Μετά την κρούση η Α σφαίρα στον άξονα x θα έχει ταχύτητα με φορά προς τα αριστερά και μέτρο ίσο με υx.
β)  Μετά την κρούση η Α σφαίρα στον άξονα y θα έχει ταχύτητα με φορά προς τα πάνω και μέτρο ίσο με υy.
γ)  Η σφαίρα Β θα κινηθεί μετά την κρούση στη διεύθυνση x.
δ)  Οι δύο σφαίρες θα κινηθούν σε κάθετες διευθύνσεις.
ε)  Το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας της Α σφαίρας που οφείλεται στην κρούση είναι ίσο με 100συν2θ, όπου θ η γωνία που σχηματίζει η αρχική ταχύτητα με τη διάκεντρο των δύο σφαιρών.

Ελαστική κρούση, οι δυνάμεις και τα έργα τους!!!

Μια σφαίρα Α μάζας m1=2kg κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ1=10m/s και συγκρούεται κεντρικά ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Β μάζας m2=3kg.
Σε μια στιγμή t1 στη διάρκεια της κρούσης η σφαίρα Β έχει ταχύτητα υΒ=6m/s.
i)       Για τη στιγμή t1:
α)  Πόση κινητική ενέργεια έχει κάθε σφαίρα;
β)  Πόση είναι η δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης των δύο σφαιρών;
ii)     Να βρείτε τα έργα των δυνάμεων που ασκούνται μεταξύ των δύο σωμάτων από την στιγμή t1μέχρι το τέλος της κρούσης.
iii)    Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λαθεμένες.
α)   Κατά τη διάρκεια μιας ελαστικής κεντρικής κρούσης η ορμή του συστήματος παραμένει σταθερή.
β)  Κατά τη διάρκεια μιας ελαστικής κεντρικής κρούσης η κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή.
γ)   Κατά τη διάρκεια μιας ελαστικής κεντρικής κρούσης η ορμή κάθε σφαίρας παραμένει σταθερή.
δ)   Η παραμόρφωση των σφαιρών είναι ελαστική.
ε)   Τα έργα της δράσης – αντίδρασης είναι αντίθετα.
στ) Οι δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ των δύο σφαιρών κατά τη διάρκεια μιας ελαστικής κεντρικής κρούσης είναι συντηρητικές.