Κυριακή, 28 Φεβρουαρίου 2010

Δυο αρθρωμένες ράβδοι σ' επαφή



Δυο όμοιες ομογενείς ράβδοι ΑΒ και ΓΔ , μάζας Μ = 10 kg η κάθε μια και μήκους ℓ = 1m , ισορροπούν όπως φαίνεται στο σχήμα, με την επίδραση ροπής ,τΓ η οποία ασκείται στη ράβδο ΓΔ. Η ράβδος ΑΒ, αρθρώνεται στο Α, και παραμένει οριζόντια εφαπτόμενη στη ράβδο ΓΔ, η οποία με τη σειρά της αρθρώνεται στο Γ σε κατακόρυφο τοίχο.
Αν ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ των δυο ράβδων είναι μs =√3/4 , να βρείτε το σύνολο των τιμών του μέτρου της ροπής τΓ , για τις οποίες διατηρείται η ισορροπία του σχήματος.
Δίνεται g = 10 m/s² και √3 = 1,78


Πώς κινείται ο κύλινδρος;

Στο μέσον ενός κυλίνδρου ακτίνας R=0,2m, υπάρχει μια μικρή εγκοπή βάθους 0,1m, στην οποία τυλίγουμε αβαρές νήμα και τοποθετούμε τον κύλινδρο σε οριζόντιο επίπεδο. Τραβώντας το νήμα ασκούμε στον κύλινδρο οριζόντια δύναμη F=6Ν, όπως στο σχήμα, οπότε το κέντρο του Ο μετατοπίζεται κατά x1=10m σε ορισμένο χρονικό διάστημα t1. Αν η μέγιστη τιμή της τριβής που μπορεί να ασκηθεί στον κύλινδρο είναι Τορολ=1Ν, να βρεθούν για το παραπάνω διάστημα:
i) Ποια η φορά περιστροφής του κυλίνδρου;
ii) Η μεταφορική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου.
iii) Η περιστροφική κινητική του ενέργεια.
iv) Η θερμότητα που παράγεται εξαιτίας της τριβής.
Δίνεται για τον κύλινδρο Ι= ½ mR2.

Παρασκευή, 26 Φεβρουαρίου 2010

Τροχαλία με μοχλό


Η τροχαλία Τ του σχήματος, έχει μάζα Μ = 16 kg ακτίνα R = 1m , και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό της.
Ένα αβαρές μη εκτατό νήμα μεγάλου μήκους, τυλίγεται στ’ αυλάκι της τροχαλίας και δεν γλιστρά πάνω της. Στο κάτω άκρο του νήματος είναι δεμένο σώμα Σ μάζας m = 2kg αμελητέων διαστάσεων.
Μια αβαρής ράβδος-μοχλός ΟΑ μήκους ℓ = 3R, είναι κολλημένη στο επίπεδο της τροχαλίας όπως φαίνεται στο σχήμα.
Στο άκρο Α του μοχλού ασκείται δύναμη σταθερού μέτρου F = 10 N που παραμένει κάθετη σ’ αυτόν.
Το σώμα Σ ξεκινά να ανεβαίνει κατακόρυφα τη χρονική στιγμή t = 0 χωρίς αρχική ταχύτητα, και το νήμα είναι πάντα τεντωμένο.
Τη χρονική στιγμή t1, το σώμα έχει ανέβει ύψος σε h = 8 m πάνω από την αρχική του θέση.
I. Να υπολογίσετε:
1. Την επιτάχυνση του σώματος Σ.
2. Το έργο της δύναμης μέτρου F από t = 0 μέχρι t = t1.
II. Για τη χρονική στιγμή t1 να υπολογίσετε:
1. Την κινητική ενέργεια του σώματος Σ.
2. Τη στροφορμή του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας.
3. Τον ρυθμό που προσφέρεται ενέργεια στο σύστημα μέσω του έργου της δύναμης F και τους ρυθμούς που η ενέργεια αυτή μετατρέπεται σε άλλες μορφές την ίδια χρονική στιγμή.
4. Tο μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστήματος.
Δίνεται g = 10m/s², και ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής , υπολογίζεται με τη σχέση Icm = ½MR².

Απάντηση

Πότε έχουμε μεγαλύτερη γωνιακή επιτάχυνση;

Γύρω από μια τροχαλία τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου ασκούμε κατακόρυφη δύναμη F. Η τροχαλία αποκτά γωνιακή επιτάχυνση αγων=5rad/s2. Αν στο άκρο του νήματος δέναμε ένα σώμα βάρους W= F, η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας θα ήταν:
α) ίση με 5rad/s2.
β) μικρότερη από 5rad/s2.
γ) μεγαλύτερη από 5rad/s2.

Δυναμική στερεού με σταθερό άξονα περιστροφής.

Μια ομογενής ράβδος μήκους 1m και μάζας 4kg στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα της άκρο Α. Τη στιγμή που βρίσκεται στη θέση που φαίνεται στο σχήμα, όπου συνθ=0,8, ο άξονας ασκεί δύναμη κάθετη στη ράβδο
Ζητούνται για τη θέση αυτή:
i)  Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής,
ii) Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου.
iii) Η δύναμη από τον άξονα περιστροφής.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής Ι= 1/3 mℓ2 και g=10m/s2.


Πότε η ισορροπία είναι ευκολότερη;

Δίνεται μια αβαρής ράβδος ΑΒ μήκους 1m, σε σημείο Γ της οποίας στερεώνεται μια μικρή σημειακή μάζα m=0,2kg, η οποία απέχει απόσταση d=0,4m από το άκρο Α της ράβδου. 
Στο άκρο Α ή στο Β πρέπει να στηρίξουμε κατακόρυφα τη ράβδο στην παλάμη μας για να πετύχουμε καλύτερη ισορροπία, με την έννοια ότι αν εκτραπεί λίγο από την κατακόρυφο, θα αποκτήσει μικρότερη γωνιακή επιτάχυνση;

Γωνιακή επιτάχυνση ράβδου και επιτάχυνση σώματος.

Μια ομογενής οριζόντια δοκός ΑΓ μάζας m=10kg και μήκους 6m είναι αρθρωμένη στο άκρο της Α, ενώ στο άκρο της Γ είναι δεμένη με κατακόρυφο νήμα. Στο σημείο Δ της δοκού, όπου (ΑΔ)=2m, έχουμε κρεμάσει με νήμα μια σφαίρα Σ μάζας m1=6kg, όπως στο σχήμα.
Σε μια στιγμή κόβεται το νήμα στο άκρο Γ. Για αμέσως μετά το κόψιμο του νήματος να βρεθούν:
i  Η γωνιακή επιτάχυνση της δοκού και
ii)  Η επιτάχυνση της σφαίρας Σ.
iii) Αν (ΑΔ)=5m ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις σας;
Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας δοκού ως προς κάθετο άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρον της Ι= 1/3 m·ℓ2 και g=10m/s2.

Πέμπτη, 25 Φεβρουαρίου 2010

Μια ράβδος πάνω σε δυο τροχούς

Μια λεπτή ομογενής ράβδος ΑΒ έχει μήκος ℓ , και το βάρους της έχει μέτρο w = 200 Ν.
Η ράβδος αυτή, είναι αρθρωμένη με το ένα άκρο της Α σε κατακόρυφο τοίχο, και παραμένει οριζόντια ακουμπώντας σε δυο όμοιους τροχούς που έχουν ακτίνες R1 = R2 = 0,1 m όπως δείχνει το σχήμα.
Οι τροχοί περιστρέφονται κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού, γύρω από σταθερούς οριζόντιους άξονες , που είναι κάθετοι στο επίπεδό τους και διέρχονται από τα κέντρα τους Ο1 , Ο2 με γωνιακές ταχύτητες που έχουν μέτρα ω1 = ω2 = 100 rad/s.
Οι συντελεστές τριβής ολίσθησης ανάμεσα στη ράβδο και τους τροχούς στα σημεία επαφής Γ και Δ είναι μ1 = μ2 = 0,1 ενώ δεν υπάρχουν τριβές στους άξονες περιστροφής.
Αν ο ρυθμός που εκλύεται η θερμότητα και στις δυο επαφές συνολικά , είναι 280 j/s , να υπολογίσετε:
1. Την κατακόρυφη συνιστώσα και την οριζόντια συνιστώσα της δύναμης που ασκεί η άρθρωση στη ράβδο.
2 .Τον ρυθμό που εκλύεται θερμότητα σε κάθε επαφή ξεχωριστά.
3. Την θερμότητα που εκλύεται για γωνία περιστροφής των τροχών θ = 100π rad.


Απάντηση

Ροπή αδράνειας και γωνιακή επιτάχυνση

Οι ομογενείς ράβδοι ΟΑ και ΑΒ με ίσες μάζες m=3kg και μήκη l1=4m και l2=6m αντίστοιχα, είναι συγκολλημένες όπως στο σχήμα. Το σύστημα μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος περνά από το άκρο Ο. Φέρνουμε το σύστημα σε τέτοια θέση, ώστε η ράβδος ΟΑ να είναι οριζόντια και το αφήνουμε να κινηθεί.
Αν η ροπή αδράνειας μιας ράβδους ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της δίνεται από τη σχέση Ι=1/12 ml2, να βρεθούν:
α)   Η αρχική γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος.
β)   Η αρχική επιτάχυνση του μέσου O της ράβδου ΑΒ και να σχεδιαστεί στο σχήμα.

Και αν έχουμε ροπή από τον άξονα;

Γύρω από μια τροχαλία μάζας 4kg και ακτίνας R=0,1m τυλίγουμε ένα αβαρές νήμα στο άκρο του οποίου δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m1=0,4kg, το οποίο αφήνουμε να κινηθεί από ύψος h=8m από το έδαφος. Ο χρόνος πτώσης είναι t1=4s. Δίνεται ότι μεταξύ τροχαλίας και του άξονα περιστροφής της αναπτύσσεται σταθερή ροπή λόγω τριβής. Ζητούνται:
1)  Η επιτάχυνση του σώματος Σ και η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας.
2)  Η ροπή που ασκείται στην τροχαλία εξαιτίας της τριβής που αναπτύσσεται μεταξύ τροχαλίας και άξονα της τροχαλίας.
3)  Με ποιο ρυθμό η μηχανική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα την χρονική στιγμή t=3s;
Δίνεται για την τροχαλία Ι= ½ ΜR2 και g=10m/s2.

Ένας Κύλινδρος σε επαφή με δοκό.

Ο κύλινδρος του σχήματος έχει ακτίνα R= 0,4m και μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονά του που περνά από τα κέντρα των δύο βάσεών του. Τυλίγουμε γύρω του ένα αβαρές νήμα, στο άκρο του οποίου δένουμε ένα σώμα Σ μάζας m=1kg και το αφήνουμε να κινηθεί από ύψος h=8m, από το έδαφος.

1)  Αν ο χρόνος πτώσης του σώματος Σ είναι t1=4s, να βρεθεί η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου.
2)  Πάνω στον κύλινδρο τοποθετούμε μια ομογενή δοκό μήκους και μάζας m1=6kg, η οποία συνδέεται σε άρθρωση στο άκρο της Α και στον κύλινδρο στο σημείο Μ, όπου (ΑΜ)= 3l/4. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αφήνοντας για t=0 το σώμα Σ να πέσει από το ίδιο ύψος h. Για t=2s και ενώ το σώμα Σ έχει κατέβει κατά y1=1m, τοποθετούμε στο άκρο Β ένα σώμα Σ1 μάζας m2, το οποίο θεωρείται υλικό σημείο, οπότε το σώμα Σ φτάνει στο έδαφος για t=7s. Ζητούνται:
α) Ο συντελεστής τριβής μεταξύ δοκού και κυλίνδρου.
β) Το βάρος του σώματος Σ1.
Δίνεται g=10m/s2.

Μια σφαίρα κυλίεται σε κεκλιμένο επίπεδο.

Από το ίδιο ύψος h σε ένα κεκλιμένο επίπεδο, αφήνουμε ταυτόχρονα δύο σφαίρες Α και Β, οι οποίες κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Η σφαίρα Α έχει μάζα m και ακτίνα R, ενώ η Β έχει μάζα 3m και ακτίνα R/2. 
i)    Για τα χρονικά  διαστήματα tΑ και tΒ που απαιτούνται για να φτάσουν στη  βάση του επιπέδου ισχύει:
ii)   Για τις τελικές ταχύτητες υΑ και υΒ ισχύει:
iii)  Ο λόγος ΚΑΒ, όπου ΚΑ και ΚΒ οι τελικές κινητικές ενέργειες των δύο σφαιρών λόγω περιστροφής, είναι ίσος με:
α)  1              β)         3                      γ)         1/3
          Για τη σφαίρα  Ιcm = 2/5 mR2

Κύλιση δίσκου υπό την επίδραση οριζόντιας δύναμης



Ο δίσκος του σχήματος έχει μάζα m, ακτίνα R και στο μέσο του υπάρχει λεπτή αυλάκωση ώστε η ακτίνα εκεί να είναι x R. Η ροπή αδράνειάς του είναι I=½·mR2 και έχουμε τυλίξει λεπτό νήμα ώστε να ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F. Αν ο δίσκος είναι αρχικά ακίνητος και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, να βρείτε σε κάθε μία από τις δύο περιπτώσεις που φαίνονται στο σχήμα το μέτρο Τ και την κατεύθυνση της στατικής τριβής σε συνάρτηση με την ακτίνα x, καθώς και το μέτρο α της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας Ο του δίσκου.


Απάντηση

Τετάρτη, 24 Φεβρουαρίου 2010

Τάση του νήματος και επιτάχυνση.

Η ομογενής ράβδος ΑΒ του σχήματος, έχει μάζα Μ και μήκος L, συνδέεται στο άκρο της Α σε άρθρωση και ισορροπεί οριζόντια δεμένη στο άκρο νήματος στο σημείο Μ, όπου (ΑΜ)= ¾ L , ενώ στο άκρο της Β κρέμεται με άλλο νήμα σώμα Σ μάζας ½ Μ. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το άκρο Α, Ι = 1/3 ΜL2.
Α) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος:
  1. Στην ράβδο ασκούνται 3 δυνάμεις. Μια από το νήμα η Τ1, το βάρος της W και το βάρος του Σ.
  2. Η δύναμη που ασκείται στο άκρο Β από το νήμα είναι κατακόρυφη και ίση με το βάρος του Σ.
  3. Η τάση Τ1 έχει μέτρο Τ1= Μg+Μg/2= 3/2 Μg.
Β) Σε μια στιγμή κόβουμε τι νήμα (1). Αν Ι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το άκρο Α, τότε αμέσως μετά η ράβδος αποκτά γωνιακή επιτάχυνση που υπολογίζεται από τη σχέση:
  1. W·L/2 + W1·L/2= Ι·αγων.
  2. W·L/2 + Τ·L/2= Ι·αγων, όπου Τ η τάση του νήματος (2).
  3. W·L/2 = Ι·αγων.
Γ) Η επιτάχυνση του σημείου Β είναι μεγαλύτερη, ίση ή μικρότερη από την επιτάχυνση του σώματος Σ;

Συνολική ροπή και ανατροπή σώματος.

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένας κύβος μάζας 100kg και ακμής α=2m. Σε μια στιγμή ασκούμε στο κέντρο του μια οριζόντια δύναμη F=300Ν. Οι συντελεστές τριβής μεταξύ του κύβου και του επιπέδου είναι μ=μs=0,2.
i) Ποιες προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος:
α) Ο κύβος παραμένει ακίνητος.
β) Ο κύβος ισορροπεί.
γ) Η τριβή, είναι τριβή ολίσθησης με μέτρο Τ=200Ν.
δ) Ο κύβος επιταχύνεται προς τα δεξιά με επιτάχυνση α=1m/s2.
ε) Ο κύβος ανατρέπεται.
στ) Αφού ο κύβος δεν ανατρέπεται η συνολική ροπή των δυνάμεων ως προς οποιοδήποτε
σημείο είναι ίση με μηδέν.
ζ) Ο φορέας της κάθετης αντίδρασης του επιπέδου έχει μοχλοβραχίονα ως προς το κέντρο Ο, ίσο με x=0,2m.
ii) Υπολογίστε την συνολική ροπή ως προς την κορυφή Γ και σχολιάστε το αποτέλεσμα.

Ροπή ενός ζεύγους δυνάμεων.

Μια σφαίρα μάζας 10kg και ακτίνας 0,2m, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα κέντρου μάζας υcm=10m/s. Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω της μια σταθερή ροπή, ενός ζεύγους δυνάμεων, οπότε η σφαίρα σταματά σε απόσταση x=7m, χωρίς να ολισθήσει στη διάρκεια του φρεναρίσματος.
  1. Να σχεδιάστε ένα σχήμα στο οποίο να φαίνονται οι ασκούμενες στη σφαίρα δυνάμεις.
  2. Να υπολογιστεί το μέτρο της ασκούμενης ροπής.
  3. Πόσο είναι το μέτρο της ασκούμενης τριβής;
  4. Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής της στατικής οριακής τριβής, ώστε να μην ολισθήση η σφαίρα;
Δίνεται Ι=2/5 mR2.

    Στροφική κίνηση δίσκου


    Ένας κυκλικός λεπτός δίσκος, με μάζα Μ = 4Kg και ακτίνα R=2/3 m ηρεμεί σε κατακόρυφο επίπεδο εξαρτώμενος από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ανώτερο σημείο του Ο. Στο κατώτερο σημείο Α του δίσκου ασκείται δύναμη σταθερού μέτρου F = 20 N, η οποία συνεχώς εφάπτεται στο δίσκο. Σας ζητούμε να απαντήσετε στα εξής:
    1. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του που διέρχεται από το Ο.
    2. Να υπολογίσετε το ρυθμό με τον οποίο μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου αμέσως μόλις ασκήθηκε η δύναμη F .
    3. Να εξετάστε αν ο δίσκος μπορεί να διαγράψει τον κατακόρυφο κύκλο, με τη δράση της F.
    4. Να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε τη συνάρτηση που δείχνει πώς μεταβάλλεται η συνολική ροπή που ασκείται στο δίσκο σε συνάρτηση με το ημίτονο της γωνίας φ που σχηματίζει η διάμετρος του δίσκου ΟΑ με την κατακόρυφη για
    5. Καθώς ο δίσκος ανέρχεται:
    5.1. Να υπολογίσετε την τιμή της γωνίας φ της διαμέτρου ΑΟΓ, ως προς την αρχική της κατακόρυφη θέση της, στην οποία ο δίσκος αποκτά την ελάχιστη γωνιακή επιτάχυνση.
    5.2. Στη θέση αυτή της ελάχιστης γωνιακής επιτάχυνσης να υπολογίσετε:
    5.2.1 Την ταχύτητα του κέντρου Κ του δίσκου.
    5.2.2. Το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής.
    5.2.3. Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου.

    Δίνονται: η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στον δίσκο που διέρχεται από το κέντρο του και το g.

    ΣτροφικήΚίνησηΔίσκου.pdf

    Τρίτη, 23 Φεβρουαρίου 2010

    Ερωτήσεις Κινηματικής Στερεού

    1)     Ένα  στερεό που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα μπορεί να έχει υcm=10m/s;
    2)     Ένας τροχός αυτοκινήτου, μάζας Μ, που κινείται με ταχύτητα υ, έχει σε ένα του σημείο κολλημένη μια μάζα m. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι ίση με υ;
    3)     Ένα ελεύθερο στερεό σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, όπως στο παρακάτω σχήμα.
    α)  Να σημειώστε στο σχήμα την ταχύτητα του σημείου Σ.
    β)  Να σχεδιάστε στο σχήμα την επιτάχυνση του σημείου Σ στις εξής περιπτώσεις:
    i)    Το σώμα έχει σταθερή ταχύτητα υ και σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω.
    ii)   Το σώμα έχει σταθερή επιτάχυνση προς τα δεξιά και σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω.
    iii)  Το σώμα έχει σταθερή ταχύτητα υ και σταθερή γωνιακή επιτάχυνση ομόρροπη της γωνιακής του ταχύτητας ω.
    iv)  Το σώμα έχει σταθερή επιτάχυνση προς τα δεξιά και σταθερή γωνιακή επιτάχυνση ομόρροπη της γωνιακής του ταχύτητας ω.

    Τροχός και Τριβή

    Ένας τροχός εκτοξεύεται σε οριζόντιο επίπεδο με αρχική ταχύτητα υ0 και αρχική γωνιακή ταχύτητα ω0, όπως στα παρακάτω σχήματα.
    Α)   Να σχεδιάστε την τριβή που ασκείται στον τροχό σε κάθε περίπτωση.
    Β)   Σε ποια περίπτωση ασκείται μεγαλύτερη τριβή στον τροχό;

    Ποια η κατεύθυνση της Τριβής;

    Μπορείτε να ερμηνεύσετε την κατεύθυνση της τριβής στα παρακάτω σχήματα;

    Μελέτη της κύλισης-ολίσθησης σώματος σε κεκλιμένο

    Εδώ θα βρείτε μια αναλυτική μελέτη της κίνησης σε κεκλιμένο επίπεδο ενός σώματος που μπορεί να κυλίεται (κύλινδρος, σφαίρα, κλπ.). Τίποτε πρωτότυπο, το θέμα αυτό ή παρόμοια έχουν παρουσιαστεί πολλές φορές από συναδέλφους.
    Έχει όμως κάποιο ενδιαφέρον διότι καταλήγει σε πίνακες σύγκρισης για διάφορα σώματα, όπου φαίνεται ο ρόλος της ροπής αδράνειας (της κατανομής μάζας πιο συγκεκριμένα) στην κίνηση του σώματος.
    Χρησιμοποιήθηκε η συνηθισμένη ανάλυση σε μεταφορική / στροφική κίνηση.
    Ακόμα, η έννοια του έργου στατικής τριβής, διότι νομίζω ότι διευκολύνει τους μαθητές να καταλάβουν πως μεταφέρεται ενέργεια στην περιστροφή. Βέβαια υπάρχει αντίλογος γι’ αυτό από πολλούς συναδέλφους και πιστεύω θα ήταν εποικοδομητικό κάποια φορά να γίνει μια σχετική συζήτηση.

    Συνέχεια

    Δευτέρα, 22 Φεβρουαρίου 2010

    Κίνηση ράβδου.

    Μια ομογενής δοκός μήκους l=2m κινείται ελεύθερα οριζόντια πάνω σε μια παγωμένη λίμνη, χωρίς τριβές και για t=0 δίνονται οι ταχύτητες του μέσου Ο και του άκρου Α, υ0=10m/s και υΑ=4m/s αντίστοιχα.
    Να βρεθούν οι ταχύτητες των παραπάνω σημείων τη χρονική στιγμή t1=π/6s.

    Πώς να εφαρμόσουμε τον θεμελιώδη νόμο στη σύνθετη κίνηση;

    Πώς εφαρμόζουμε τον θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής σε μια σύνθετη κίνηση; Δουλεύουμε με αλγεβρικές τιμές των μεγεθών ή με τα μέτρα τους; Έστω για παράδειγμα ότι θέλουμε να μελετήσουμε την κίνηση ενός κυλίνδρου που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
    Οι γνωστές μας σχέσεις ω=υ·R και αcmγων· R συνδέουν τα μέτρα των μεγεθών αφού τα διανύσματα είναι μεταξύ τους ασύμβατα κάθετα (υω  και αcm ┴ αγων.)
    Για να μην μπλέξουμε λοιπόν τα πρόσημα των μεγεθών αυτών προτείνεται να χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις αφού ορίσουμε κάθε φορά θετικές φορές (για την μεταφορική και για την περιστροφική κίνηση) με τέτοιο τρόπο ώστε να μην προκύπτουν αρνητικές τιμές για την επιτάχυνση του κέντρου μάζας και για την γωνιακή επιτάχυνση. Ας το δούμε με ένα παράδειγμα.


    Η συνέxεια σε pdf.

    Μόνο Στροφική ή σύνθετη κίνηση;

    Μια ομογενής ράβδος ΑΓ, στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από κάθετο άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο Α.

    Τι κίνηση κάνει;  Ποιας μορφής Κινητική ενέργεια έχει;
    Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το μέσον της Ι= 1/12 Μl2.

    Απάντηση:
    1)    Η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι μόνο ομαλή στροφική γύρω από τον άξονα με αποτέλεσμα να έχει μόνο κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής:
    2)    Η κίνηση μπορεί να θεωρηθεί σύνθετη. 


     Μια στροφική γύρω από κάθετο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας Ο, με γωνιακή ταχύτητα ω και μια μεταφορική του κέντρου μάζας Ο, το οποίο εκτελεί κυκλική κίνηση, σαν υλικό σημείο με γραμμική ταχύτητα:
    υγρcm=ω·(ΑΟ) →  υcm=ω·l/2
    Έτσι για παράδειγμα το άκρο Α έχει μια ταχύτητα λόγω της μεταφορικής κίνησης την υcmκαι μια γραμμική ταχύτητα λόγω της περιστροφικής κίνησης υγρ=ω·R= ω·l/2. Έτσι η ταχύτητα του άκρου Α είναι μηδενική, πράγμα αναμενόμενο  αφού από το άκρο αυτό διέρχεται ο σταθερός άξονας περιστροφής.
    Αν όμως η κίνηση είναι σύνθετη, τότε θα έχει και μεταφορική και περιστροφικήκινητική ενέργεια.
    Άρα
    Κολ= Κμετπερ →
    ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Αν ένα στερεό στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, ο οποίος δεν περνά από το κέντρο μάζας, τότε το σώμα έχει και μεταφορική κινητική ενέργεια (Κ= ½ Mυcm2) και περιστροφική κινητική ενέργεια (Kπερ= ½ Ιω2) όπου Ι η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του.

    Ας έρθουμε τώρα σε μια εφαρμογή των παραπάνω ιδεών:

    Η ράβδος του σχήματος  εκτελεί  μεταφορική κίνηση με ταχύτητα υ0 πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σημείο Ο υπάρχει κατακόρυφος σταθερός άξονας. Όταν το άκρο Α της ράβδου φτάνει στο Ο πιάνεται στον άξονα με τη βοήθεια ενός άγκιστρου με αποτέλεσμα η ράβδος να συνεχίσει με περιστροφική κίνηση.
    1. Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου, μετά την σταθεροποίηση του άκρου Α στο άγκιστρο.
    2. Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης (σαν δύναμης) που ασκήθηκε στην ράβδο από το άγκιστρο.
    3. Να βρεθεί το έργο της ροπής που ασκήθηκε στη ράβδο.
    Δίνεται η ροπή αδράνειας μιας ράβδου ως προς κάθετο άξονα που περνά από το άκρο της Ι= 1/3 Μl2.

    Κυριακή, 21 Φεβρουαρίου 2010

    Μια μη μετωπική κρούση

    Οι σφαίρες της εικόνας έχουν ίση μάζα m=0,2Kg και ίσες κατά μέτρο ταχύτητες: u1=u2=u=√5m/s. Συγκρούονται πλαστικά και το συσσωμάτωμα που προκύπτει κινείται οριζόντια όπως στο σχήμα <μετά>.
    Να εξετάσετε ως προς την ορθότητά τους τις πιο κάτω προτάσεις δικαιολογώντας την άποψή σας σε κάθε περίπτωση
    1. οι μεταβολές των ορμών των σφαιρών είναι αντίθετα διανύσματα
    1. η μεταβολή της ορμής της σφαίρας Σ1 έχει μέτρο 0.25Kgm/s
    1. Η διεύθυνση της δύναμης που δέχεται η σφαίρα 1 κατά τη κρούση είναι κατακόρυφη
    1. η θερμότητα που εκλύεται κατά τη κρούση είναι 0.25 joule

    Μια ράβδος σε ισορροπία.

    Η ομογενής ράβδος ΑΒ έχει μήκος 6m, μάζα Μ=15kg και ισορροπεί όπως στο σχήμα στηριζόμενη στο τρίποδο στο σημείο Γ, όπου (ΑΓ) =2m και σε κύλινδρο στο σημείο Δ με (ΔΒ)=1m.
    i)    Bρείτε τις δυνάμεις που ασκούνται στη ράβδο στα σημεία στήριξης.
    ii)   Σε μια στιγμή θέτουμε σε περιστροφή τον κύλινδρο με φορά όπως οι δείκτες του ρολογιού. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης κυλίνδρου-ράβδου είναι μ=0,6 και η ράβδος συνεχίζει να ισορροπεί, να βρείτε την τριβή που ασκείται στη ράβδο από τον κύλινδρο.
    iii)  Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής της οριακής στατικής τριβής μεταξύ ράβδου και τρίποδου για να εξασφαλίζεται η ισορροπία της ράβδου;
    iv)  Ποια η μέγιστη κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα κάτω που πρέπει να ασκηθεί στο άκρο Α, χωρίς να ανατρέπεται η ράβδος; Πόση θα είναι τότε η τριβή που δέχεται η ράβδος από το τρίποδο;
    Δίνεται g=10m/s2.